No Ensino Fundamental, funções são fórmulas matemáticas que associam cada número de um conjunto numérico (o domínio) a um único número pertencente a outro conjunto (o contradomínio). Quando essa fórmula é uma equação do segundo grau, temos uma função do segundo grau. As funções podem ser representadas por figuras geométricas cujas definições coincidem com suas fórmulas matemáticas. É o caso da reta, que representa funções do primeiro grau, e da parábola, que representa funções do segundo grau. Essas figuras geométricas são chamadas de gráficos. A ideia central da representação de função por um gráfico Para desenhar o gráfico de uma função, é preciso avaliar qual elemento do contradomínio está relacionado com cada elemento do domínio e marcá-los, um a um, em um plano cartesiano. Quando todos esses pontos forem marcados, o resultado será justamente o gráfico de uma função. Vale ressaltar que as funções do segundo grau, geralmente, são definidas em um domínio igual a todo o conjunto dos números reais. Esse conjunto é infinito e, por isso, é impossível marcar todos os seus pontos em um plano cartesiano. Desse modo, a alternativa é esboçar um gráfico que possa representar em parte a função avaliada. Antes de qualquer coisa, lembre-se de que as funções do segundo grau possuem a seguinte forma: y = ax2 + bx + c Diante disso, apresentamos cinco passos que tornam possível a construção de um gráfico de função do segundo grau, exatamente como os que são exigidos no Ensino Médio. Passo 1 – Avaliação geral da função Existem alguns indicadores que ajudam a descobrir se o caminho certo está sendo tomado ao construir o gráfico de funções do segundo grau. I - O coeficiente “a” de uma função do segundo grau indica sua concavidade, ou seja, se a > 0, a parábola será para cima e possuirá ponto de mínimo. Se a < 0, a parábola será para baixo e possuirá ponto de máximo. II) O primeiro ponto A do gráfico de uma parábola pode ser facilmente obtido apenas observando o valor do coeficiente “c”. Desse modo, A = (0, c). Isso ocorre quando x = 0. Observe: y = ax2 + bx + c y = a·02 + b·0 + c y = c Passo 2 – Encontrar as coordenadas do vértice O vértice de uma parábola é o seu ponto de máximo (se a < 0) ou de mínimo (se a > 0). Ele pode ser encontrado pela substituição dos valores dos coeficientes “a”, “b” e “c” nas fórmulas: xv = – b yv = – ∆ Desse modo, o vértice V é dado pelos valores numéricos de xv e yv e pode ser escrito assim: V = (xv,yv). Passo 3 – Pontos aleatórios do gráfico É sempre bom indicar alguns pontos aleatórios cujos valores atribuídos à variável x sejam maiores e menores que xv. Isso lhe dará pontos antes e depois do vértice e tornarão o desenho do gráfico mais fácil. Passo 4 – Se possível, determine as raízes Quando existem, as raízes podem (e devem) ser incluídas no desenho do gráfico de uma função do segundo grau. Para encontrá-las, faça y = 0 para obter uma equação do segundo grau que possa ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Lembre-se de que resolver uma equação do segundo grau é o mesmo que encontrar suas raízes. A fórmula de Bhaskara depende da fórmula do discriminante. São elas: x = – b ± √∆ ∆ = b2 – 4ac Passo 5 – Marcar todos os pontos obtidos no plano cartesiano e ligá-los, de modo a construir uma parábola Lembre-se de que o plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares. Isso significa que, além de conter todos os números reais, essas retas formam um ângulo de 90°. Exemplo de plano cartesiano e exemplo de parábola. Exemplo Construa o gráfico da função do segundo grau y = 2x2 – 6x. Solução: Observe que os coeficientes dessa parábola são a = 2, b = – 6 e c = 0. Dessa maneira, pelo passo 1, podemos afirmar que: 1 – A parábola ficará para cima, pois 2 = a > 0. 2 – Um dos pontos dessa parábola, representado pela letra A, é dado pelo coeficiente c. Logo, A = (0,0). Pelo passo 2, observamos que o vértice dessa parábola é: xv = – b xv = – (– 6) xv = 6 xv = 1,5 yv = – ∆ yv = – (b2 – 4·a·c) yv = – ((– 6)2 – 4·2·0) yv = – (36) yv = – 36 yv = – 4,5 Logo, as coordenadas do vértice são: V = (1,5, – 4,5) Utilizando o passo 3, escolheremos apenas dois valores para a variável x, um maior e outro menor que xv. Se x = 1, y = 2x2 – 6x y = 2·12 – 6·1 y = 2·1 – 6 y = 2 – 6 y = – 4 Se x = 2, y = 2x2 – 6x y = 2·22 – 6·2 y = 2·4 – 12 y = 8 – 12 y = – 4 Logo, os dois pontos obtidos são B = (1, – 4) e C = (2, – 4) Pelo passo 4, que não precisa ser feito caso a função não possua raízes, obtemos os seguintes resultados: ∆ = b2 – 4ac ∆ = (– 6)2 – 4·2·0 ∆ = (– 6)2 ∆ = 36 x = – b ± √∆ x = – (– 6) ± √36 x = 6 ± 6 x' = 12 x' = 3 x'' = 6 – 6 x'' = 0 Logo, os pontos obtidos por meio das raízes, tendo em vista que, para obter x = 0 e x = 3, foi preciso fazer y = 0, são: A = (0, 0) e D = (3, 0). Com isso, obtemos seis pontos para desenhar o gráfico da função y = 2x2 – 6x. Agora basta cumprir o passo 5 para construí-lo definitivamente. Por Luiz Paulo Moreira A função constante diferencia-se das funções do 1° grau por não poder ser caracterizada como crescente ou decrescente, sendo, por isso, constante. Podemos afirmar que uma função constante é definida pela seguinte fórmula: f(x) = c, c A representação da relação estabelecida por uma função constante por meio do diagrama de flechas assemelha-se com a representação da imagem a seguir, pois, independentemente dos valores pertences ao domínio, a imagem é sempre composta por um único elemento.
O gráfico da função constante também apresenta uma particularidade em relação às demais funções. Ele é sempre uma reta paralela ou coincidente ao eixo x. Vejamos alguns exemplos de funções constantes e seus respectivos gráficos: Exemplo 1: f(x) = 2 O gráfico da função f(x) = 2 é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, 2).
Exemplo 2: f(x) = 0 O gráfico da função f(x) = 0 é uma reta coincidente ao eixo x que intercepta o eixo y na origem.
Exemplo 3: f(x) = – 2x – 8 Colocando o –2 em evidência no numerador da função, podemos simplificar a função da seguinte forma: f(x) = – 2x – 8 f(x) = – 2.(x + 4) f(x) = – 2 Portanto, f(x) é uma função constante cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, – 2).
Exemplo 4: Apesar de o gráfico dessa função ser formado por retas paralelas ao eixo x, essa NÃO é uma função constante, pois f(x) apresenta três valores distintos.
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