Como calcular o arco de uma circunferência

Continuando o estudo da trigonometria, nesta página aprenderemos a calcular o comprimento de um arco de circunferência.

Conhecimentos sobre circunferência e ângulos são indispensáveis, por isso recomendamos acessar o conteúdo sobre o assunto.

Bom estudo.

Dada uma circunferência de centro O, raio r, dois pontos A e B pertencentes à circunferência, e um ângulo α, conforme a figura abaixo:

O comprimento do arco AB é a medida da distância entre os pontos A e B, passando pela circunferência, e é proporcional à medida do ângulo central, ou seja, quanto maior o ângulo, maior será o comprimento do arco; e quanto menor o ângulo, menor será o comprimento do arco.

Para determinarmos o comprimento de um arco de circunferência temos dois casos a analisar, considerando que o ângulo central pode ser dado em graus ou em radianos.

1) Ângulo em graus

Quando o ângulo central α é dado em graus, podemos calcular o comprimento do arco através da fórmula abaixo:

C = α.π.r / 180º

2) Ângulo em radianos

Quando o ângulo central α é dado em radianos, podemos calcular o comprimento do arco através da seguinte fórmula:

C = α.r

Vale lembrar que em ambos os casos devemos utilizar π = 3,14 (valor aproximado).

Exemplo 1. Determine o comprimento de um arco onde o ângulo central é 60º, onde o raio da circunferência é igual a 5 cm.

c = α.π.r / 180º

c = 60º . 3,14 . 5 / 180º

c = 942 / 180

c = 5,23 cm

Exemplo 2. Determine o comprimento do arco cujo ângulo central é 1,2π e o raio da circunferência é igual a 10 cm.

C = α.r

C = 1,2π . 10

C = 1,2 . 3,14 . 10

C = 37,68 cm

Exemplo 3. Determine o comprimento do arco:

c = α.π.r / 180º

c = 100º . 3,14 . 5 / 180º

c = 1570 / 180

c = 8,72 cm

Exemplo 4. Determine o comprimento do arco:

C = α.r

C = 0,4π . 1

C = 0,4 . 3,14 . 1

C = 1,25 cm

Na determinação dos arcos de uma circunferência podemos ter dois tipos de medições: a linear e a angular. A medida linear de um arco qualquer é a distância entre dois pontos A e B, postulados na extremidade da circunferência. Observe:

Com base na ilustração notamos que a medida do arco AB é igual à medida da reta EF (arco esticado), e a medida angular do arco AB corresponde à medida do ângulo central do arco, ou seja, a medida angular do arco AB é a mesma medida do ângulo central: m(AB) = m(AÔB). Para representar a medida angular de arcos de circunferência utilizamos as seguintes unidades: grau e radiano.

Graus

Radianos

Outra unidade de medida de arcos muito usual é o radiano, que consiste no arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém. Por exemplo, um arco de 3 rad corresponde ao arco de comprimento igual a 3 raios da circunferência, veja:

Comprimento AB = 3r → m(AB) = m(AÔB) = 3 rad
Ao dividirmos o comprimento do arco (l) de uma circunferência pelo seu raio (r), determinamos a medida do ângulo central em radianos.

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)

45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais, dessa forma podemos realizar as conversões utilizando uma regra de três simples:

Exemplo: Faça as seguintes transformações: a) 100º em radianos

b) 7π/15 rad em graus

Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, marcamos dois pontos A e B, os quais dividem a circunferência em duas partes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa. Observe a ilustração a seguir:

Podemos notar nessa circunferência a existência do arco AB e de um ângulo central representado por α. Para cada arco existente na circunferência, temos um ângulo central correspondente, ou seja: med(AÔB) = med(AB). Portanto, o comprimento de um arco depende do valor do ângulo central.

Na medição de arcos e ângulos, usamos duas unidades: o grau e o radiano.

Medidas em grau

Medidas em radianos

Dada uma circunferência de centro O e raio R, com um arco de comprimento s e α o ângulo central do arco, vamos determinar a medida do arco em radianos de acordo com a figura a seguir:

Dizemos que o arco mede um radiano se o comprimento do arco for igual à medida do raio da circunferência. Assim, para sabermos a medida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. Portanto:

Com base nessa fórmula podemos expressar outra expressão para determinar o comprimento de um arco de circunferência:

De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as medidas dos arcos. Veja:

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)

45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

Exemplos de conversões:

a) 270º em radianos

 b) 5π/12 em graus

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola