Sabendo que o determinante da matriz a2 2 é igual a 5 é correto afirmar que o det 2a é igual a

Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Chamamos de matriz toda a tabela m x n ( lê-se “m por n”) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n). Cada elemento da matriz é indicado por aii (i indica a posição do elemento referente à linha, e j, a posição em relação à coluna). Acompanhe a seguir a representação de uma matriz m x n.

Nessa matriz, temos que:

aij → linha (i) e coluna (j)

a1,1 → linha 1 e coluna 1
a1,2 → linha 1 e coluna 2
a1,3 → linha 1 e coluna 3
a1,n → linha 1 e coluna n
 

a2,1 → linha 2 e coluna 1
a2,2 → linha 2 e coluna 2
a2,3 → linha 2 e coluna 3
a2,n → linha 2 e coluna n

am,1 → linha m e coluna 1
am,2 → linha m e coluna 2
am,3 → linha m e coluna 3
am,n → linha m e coluna n

Diagonais da Matriz

Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução. Veja como identificamos as diagonais de uma matriz:

Diagonal Principal

a1,1 → linha 1 e coluna 1
a2,2 → linha 2 e coluna 2
a3,3 → linha 3 e coluna 3

Diagonal Secundária

a1,3 → linha 1 + coluna 3 = 4
a2,2 → linha 2 + coluna 2 = 4
a3,1 → linha 3 + coluna 1 = 4

Matrizes Especiais

Existem algumas matrizes que são consideradas especiais pela forma como são organizadas. Entre essas matrizes, podemos destacar:

• Matriz quadrada: é toda a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplos:

Observe que a matriz acima apresenta três linhas e três colunas. Como o número de linhas é igual ao de colunas, a matriz é quadrada.

• Matriz identidade: todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais números são iguais a zero.

• Matriz nula: é toda matriz em que seus elementos são iguais a zero.

• Matriz linha: é formada por uma única linha.

• Matriz coluna: é formada por uma única coluna.

Operações com matrizes

As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação.

• Adição: Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C.

  A + B = C

Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo:

A + B = C
A 2 x 3 + B2 x 3 = C2 x 3
 

Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a mesma quantidade de colunas (n = 3). A matriz C é resultante da soma de A + B e também deve possuir duas linhas e três colunas.

• Subtração: A partir de duas matrizes A e B, definimos a sua diferença como C:

  A – B =C
  A + (- B) = C

A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, - B. Para realizarmos a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo e verifique como é feita a subtração entre duas matrizes:

• Multiplicação: Dadas as matrizes Am x n e Bn x p, para que seja possível realizar o seu produto, o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Esse processo resulta em uma matriz Cm x p. Observe o exemplo abaixo e veja como isso é feito:

Descrição dos elementos da matriz:

a1,1 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a1,2 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a1,3 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

a2,1 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a2,2 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a2,3 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

Determinante

Calculamos o determinante de matrizes quadradas, isto é, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Observe:

Definimos como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido pela operação dos elementos que compõem A.

• Caso A possua uma linha e uma coluna (A1 X 1), então o determinante será representado pelo único elemento que compõe A. Exemplo:

  A = (10)
  det A = 10

• Se A possuir duas linhas e colunas (A2 x 2), então o determinante (det A2 x 2) será dado pela diferença entre os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua diagonal secundária. Veja abaixo como é feito o cálculo do determinante de uma matriz 2 por 2 (A 2 X 2).

Para toda matriz quadrada 2 por 2, o cálculo do determinante é realizado da forma como está demonstrado acima. Caso a matriz quadrada seja do tipo M 3 X 3, M 4 X 4, M 5 X 5 e assim por diante, calculamos o seu determinante executando os passos descritos abaixo:

1. Faça o espelhamento da primeira e da segunda coluna da matriz, ou seja, repita a primeira e a segunda coluna;

2. Realize os produtos de cada diagonal principal e secundária separadamente;

3. Efetue a soma entre os termos obtidos dos produtos de cada diagonal;

4. Realize a diferença entre os resultados obtidos referente à soma dos termos das diagonais principais e das secundárias. No fim desses cálculos, teremos o determinante da matriz.

det M3 X 3 = a 1,1 . a 2,2 . a 3,3 + a 1,2 + a 1,2 . a 2,3 . a 3,1 + a 1,3 . a 2,1 . a 3,2 - ( a 1,3 . a 2,2 . a 3,1 + a 1,1 . a 2,3 . a 3,2 + a 1,2 . a 2,1 . a 3,3).

Existem várias técnicas utilizadas para calcular o determinante de uma matriz, entre elas estão: Regra de Sarrus, Teorema de Laplace, Teorema de Jacobi, Teorema de Binet e a Regra de Chió. Mas todas essas técnicas podem ser facilitadas se aplicarmos as propriedades dos determinantes. Vale lembrar que os determinantes, bem como suas propriedades, são aplicados apenas em matrizes quadradas. Vejamos cada uma dessas propriedades:

1ª) Se uma matriz possuir uma linha ou uma coluna nula, seu determinante será zero.

Essa propriedade é válida porque cada termo no cálculo do determinante será multiplicado por zero, resultando em um determinante nulo. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:

Calculando o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus, temos:

Det = A11·0·A33 + 0·A23·A31 + A13·A21·0 – A31·0·A13 – 0·A23·A11 – A33·A21·0 = 0

Podemos ainda verificar essa propriedade através de qualquer matriz que apresente uma linha ou coluna formada por zeros.

2ª) O determinante de uma matriz será sempre igual ao determinante de sua transposta.

É fácil verificar essa propriedade, pois, ao calcular o determinante de uma matriz A ou de sua transposta At, estaremos sempre realizando as mesmas multiplicações e as mesmas adições. Vejamos o cálculo do determinante das matrizes A e At de ordem 2:

Vamos calcular o determinante das duas matrizes:

Det A = A11·A22 – A21·A12

Det At = A11·A22 – A12·A21

Det A = Det At

3ª) Se trocarmos as duas linhas ou as duas colunas da matriz, trocaremos o sinal do determinante.

Essa propriedade recebe também o nome de Teorema de Bézout e pode ser facilmente comprovada através de exemplos. Veja:

Observe que a Matriz A' é uma cópia da A, mas as linhas 1 e 2 foram trocadas. Vejamos o cálculo de seus determinantes:

Det A = A11·A22 – A21·A12

Det A' = A21·A12 – A11·A22

Det A = – Det A'

4ª) Se multiplicarmos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz por um valor n qualquer, o determinante também será multiplicado por n.

A 4ª propriedade é válida porque, no cálculo do determinante, cada produto é multiplicado por n, o que, colocando em evidência, corresponde a multiplicar o próprio determinante por n. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:

Matrizes A e A', ambas de ordem 3.

Vamos calcular o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus:

5ª) Se uma matriz possui duas linhas ou colunas iguais ou múltiplas uma da outra, o determinante é nulo.

Vamos verificar essa propriedade através de exemplos:

Veja que a matriz A apresenta duas linhas iguais. Vamos calcular seu determinante:

Det A = A11·A12 – A11·A12

Det A = 0

Podemos ver ainda que a segunda coluna da matriz B é múltipla da primeira coluna. Calcularemos seu determinante:

Det B = B11·nB21 – B21·nB11

Det B = n(B11·B21 – B21·B11)

Det B = n·0

Det B = 0

6ª) Se somarmos uma linha ou coluna à outra que foi multiplicada por um número, o determinante não será alterado.

Para demonstração dessa propriedade, é mais indicado o uso de exemplo numérico. Observe que a matriz A' (mostrada a seguir) é decorrente da matriz A. Mas para chegar à terceira coluna da matriz A', nós somamos o tripo da 2ª coluna de A à 3ª coluna de A, obtendo:

Vamos calcular o determinante de A e de A':

Det A = 1·3·2 + 2·1·4 + 0·2·0 – 4·3·0 – 0·1·1 – 2·2·2 = 6

Det A' = 1·3·2 + 2·10·4 + 6·2·0 – 4·3·6 – 0·10·1 – 2·2·2 = 6

Det A = Det A'

7ª) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes.

Vejamos a demonstração dessa propriedade através de um exemplo:

Vamos calcular o determinante de A e de B:

Det A = A11·A22 – A21·A12

Det B = B11·B22 – B21·B12

Det A·Det B= A11·A22·B11·B22 – A21·A12·B11·B22 – A11·A22·B21·B12 + A21·A12·B21·B12

Calculando o determinante da matriz A·B, temos:

Det (A·B) = A11·A22·B11·B22 – A21·A12·B11·B22 – A11·A22·B21·B12 + A21·A12·B21·B12

Portanto, Det A · Det B = Det (A·B).