Uma função é chamada de função polinomial quando a sua lei de formação é um polinômio. As funções polinomiais são classificadas de acordo com o grau de seu polinômio. Por exemplo, se o polinômio que descreve a lei de formação da função tiver grau dois, dizemos que essa é uma função polinomial do segundo grau. Show Para calcular o valor numérico de uma função polinomial, basta substituir a variável pelo valor desejado, transformando o polinômio em uma expressão numérica. No estudo de funções polinomiais, é bastante recorrente a representação gráfica. A função polinomial do 1º grau tem gráfico sempre igual a uma reta. Já a função do 2º grau possui gráfico igual a uma parábola. Leia também: Quais as diferenças entre equação e função? Tópicos deste artigoO que é uma função polinomial?Gráfico de uma função. Uma função f : R → R é conhecida como função polinomial quando a sua lei de formação é um polinômio: f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 Em que: x → é a variável. n → é um número natural. an, an-1, an-2, … a2, a1 e a0 → são coeficientes. Os coeficientes são números reais que acompanham a variável do polinômio. Exemplos:
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Existem vários tipos de função polinomial. Ela é classificada de acordo com o grau do polinômio. Quando o grau for 1, então, a função é conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial do 1º grau ou, também, função afim. Veja, a seguir, exemplos de função de grau 1 até o grau 6. Veja também: O que é uma função injetora? Grau da função polinomialO que define o grau da função polinomial é o grau do polinômio, então, podemos ter uma função polinomial de qualquer grau. Para que uma função polinomial seja de grau 1 ou polinomial do 1º grau, a lei de formação da função deve ser f(x) = ax + b, com a e b sendo números reais e a ≠ 0. A função polinomial de grau 1 é conhecida também como função afim. Exemplos:
Para que uma função polinomial seja de grau 2 ou polinomial do 2º grau, a lei de formação da função deve ser f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0. Uma função polinomial do 2º grau pode ser conhecida também como função quadrática. Exemplos:
Para que uma função polinomial seja de grau 3 ou polinomial do 3º grau, a lei de formação da função deve ser f(x) = ax³ + bx² + cx + d, com a e b sendo números reais e a ≠ 0. A função de grau 3 pode se chamar também de função cúbica. Exemplos:
Tanto para a função polinomial de grau 4 quanto para as demais, o raciocínio é o mesmo. Exemplos:
Exemplos:
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Valor numérico da funçãoConhecendo a lei de formação da função f(x), para calcular o valor numérico da função para um valor n, basta calcular o valor de f(n). Para tanto, substituímos a variável na lei de formação. Exemplo: Dada a função f(x) = x³ + 3x² – 5x + 4, encontramos o valor numérico da função para x = 2. Para encontrar o valor de f(x) quando x = 2, faremos f(2). f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4 Podemos dizer que a imagem da função ou o valor numérico da função, quando x = 2, é igual a 14. Veja também: Função inversa – consiste no inverso da função f(x) Gráficos de função polinomialPara representar no plano cartesiano a função, representamos, no eixo x, os valores de x, e a imagem de f(x), por pontos no plano. Os pontos no plano cartesiano são do tipo (n, f(n)). Exemplo 1: O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta. Exemplo 2: O gráfico da função de 2º grau é sempre uma parábola. Exemplo 3: O gráfico da função de 3º grau é conhecido como cúbica. Igualdade de polinômiosPara que dois polinômios sejam iguais, é necessário que, ao fazermos a comparação entre os seus termos, os coeficientes sejam os mesmos. Exemplo: Dados os polinômios p(x) e g(x) a seguir, e sabendo que p(x) = g(x), encontre o valor de a, b, c, e d. p(x) = 2x³ + 5x² + 3x – 4 Como os polinômios são iguais temos, que: ax³ = 2x³ (a + b)x² = 5x² (c – 2)x = 3x d = -4 Note que já temos o valor de d, pois d = -4. Agora, calculando cada um dos coeficientes, temos que: ax³ = 2x³ Conhecendo o valor de a, vamos encontrar o valor de b: (a + b)x² = 5x² a = 2 2 + b = 5 b = 5 – 2 b = 3 Encontrando o valor de c: (c – 2)x = 3x c – 2 = 3 c = 3 + 2 c = 5 Veja também: Equação polinomial – equação caracterizada por ter um polinômio igual a 0 Operações com polinômiosDados dois polinômios, é possível realizar as operações de adição, subtração e multiplicação entre esses termos algébricos. A adição de dois polinômios é calculada pela soma dos termos semelhantes. Para que dois termos sejam semelhantes, a parte literal (letra com o expoente) deve ser a mesma. Exemplo: Seja p(x) = 3x² + 4x + 5 e q(x) = 4x² – 3x + 2, calcule o valor de p(x) + q(x). 3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2 Destacando os termos semelhantes: 3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2 Agora vamos realizar a soma dos coeficientes dos termos semelhantes: (3 + 4)x² + (4 – 3)x + 7 A subtração é bastante semelhante à adição, porém, antes de realizar a operação, escrevemos o polinômio oposto. Exemplo: Dados: p(x) = 2x² + 4x + 3 e q(x) = 5x² – 2x + 1, calcule p(x) – q(x). O polinômio oposto de q(x) é o -q(x), que nada mais é que o polinômio q(x) com o oposto de cada um dos termos. q(x) = 5x² – 2x + 1 -q(x) = -5x² + 2x – 1 Então, calcularemos: 2x² + 4x + 3 – 5x² + 2x – 1 Simplificando os termos semelhantes, temos: (2 – 5)x² + (4 + 2)x + (3 – 1) Multiplicar polinômio exige a aplicação da propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos cada um dos termos do primeiro polinômio por cada um dos termos do segundo termo. Exemplo: (x + 1) · (x² + 2x – 2) Aplicando a propriedade distributiva, temos que: x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2) x3 + 2x² + -2x – 2 + x² + 2x + -2 x³ + 3x² – 4 Para calcular a divisão entre dois polinômios, recorremos ao mesmo método que utilizamos para calcular a divisão de dois números, o método de chaves. Exemplo: Calcule p(x) : q(x), sabendo que p(x) = 15x² + 11x + 2 e q(x) = 3x + 1. Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – outro método para calcular a divisão de polinômios Exercícios resolvidosQuestão 1 - O custo de produção diária de uma indústria de peças automotivas para produzir uma determinada quantidade de peças é dado pela lei de formação f(x) = 25x + 100, em que x é o número de peças produzidas naquele dia. Sabendo que, em um determinado dia, foram produzidas 80 peças, o custo de produção dessas peças foi de: A) R$ 300 B) R$ 2100 C) R$ 2000 D) R$ 1800 E) R$ 1250 Resolução Alternativa B f(80) = 25 · 80 + 100 Questão 2 - O grau da função h(x) = f(x) · g(x), sabendo que f (x) = 2x² + 5x e g(x) = 4x – 5, é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolução Alternativa C Primeiro encontraremos o polinômio que é resultado da multiplicação entre f(x) e g(x): f(x) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x – 5) Note que esse é um polinômio é de grau 3, logo, o grau da função h(x) é 3. Por Raul Rodrigues de Oliveira |