Posição relativa entre reta e circunferência exercícios resolvidos

Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no plano:

a) A reta r é secante a circunferência; ambas possuem dois pontos em comum.

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b) A reta r é tangente a circunferência; ambas possuem somente um ponto em comum.

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c) A reta r é externa a circunferência e ambas não possuem nenhum ponto em comum.

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Utilizando-se a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, adaptado para a distância entre o centro da circunferência e a reta r de equação geral ax + by + c = 0:

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podemos concluir a posição relativa entre a reta e a circunferência a partir dos seguintes dados:

a) se d < R a reta é secante à circunferência.

b) se d = R a reta é tangente à circunferência.
c) se d > R a reta é externa à circunferência.

Nos dois primeiros casos para se encontrar os pontos em comum deve-se resolver o sistema:

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Posição relativa entre ponto e circunferência

Utilizando-se o mesmo raciocínio do item anterior determina-se a distância entre o ponto P(xp, yp e o centro da circunferência por intermédio da fórmula:

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a) Se d > R, o ponto é externo à circunferência.
b) Se d = R, o ponto pertence à circunferência.

c) Se d < R, o ponto é interno à circunferência.

Verifique a posição relativa entre as retas s: x - 2y -1 = 0, t: x + y - 1 = 0 e u: -x - y - 2 = 0 em relação à circunferência $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 12 = 0$.

Reta s em relação à circunferência:

Vamos montar um sistema com a equação da reta s e a da circunferência:

$x-2y-1=0 \ \ $(1)

$x^{2}+y^{2}-8x+2y+12=0 \ \ $(2)

Isolando x na equação (1) temos:

Vamos substituir o valor de x na equação (2):

$(2y + 1)^{2} + y^{2} - 8(2y +1) + 2y + 12 = 0$ $(2y)^{2} + 2.2y.1 + 12 + y^{2} -16y - 8 + 2y + 12 = 0$ $4y^{2} + 4y + 1+ y^{2} - 16y - 8 + 2y + 12 = 0$ $5y^{2} - 10y + 5 = 0$

dividindo por 5...

$y^{2} - 2y + 1 = 0$

Resolvendo a equação do 2º grau temos:

$\Delta = b^{2} -4ac$ $\Delta = (-2)^{2}-4.1.1$ $\Delta = 0$ $x=\dfrac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a}$ $x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt[]{0}}{2.1}$ $x=\dfrac{2 \pm 0}{2}$

$x'=x''=1$

Conclusão: a reta s é tangente à circunferência.

Reta t em relação à circunferência:

Vamos montar um sistema com a equação da reta t e a da circunferência:

$x+y-1=0 \ \ $ (1)

$x^{2}+y^{2}-8x+2y+12=0 \ \ $(2)

Isolando x na equação (1) temos:

Vamos substituir o valor de x na equação (2):

$(-y+1)^{2}+y^{2}-8(-y+1)+2y+12=0$ $(-y)^{2}+2.(-y).1+1^{2}+y^{2}+8y-8+2y+12=0$ $y^{2}-2y+1+y^{2}+8y-8+2y+12=0$

$2y^{2}+8y+5=0$

Resolvendo a equação do 2º grau temos:

$ \Delta = b^{2}-4ac$ $ \Delta = (8)^{2}-4.2.5$ $ \Delta = 64-40$ $ \Delta = 24 $ $x = \dfrac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a}$ $x = \dfrac{-8 \pm \sqrt[]{24}}{2.2}$ $x = \dfrac{-8 \pm \sqrt[]{2^{2}.2.3}}{4}$ $x = \dfrac{-8 \pm 2\sqrt[]{2.3}}{4}$ $x = \dfrac{-8 \pm 2\sqrt[]{6}}{4}$

simplificando por 2...

$x = \dfrac{-4 \pm \sqrt[]{6}}{2}$ $x' = \dfrac{-4 + \sqrt[]{6}}{2}$

$x'' = \dfrac{-4 - \sqrt[]{6}}{2}$

Conclusão: A reta t é secante, pois corta a circunferência em dois pontos.

Reta u em relação à circunferência:

Vamos montar um sistema com a equação da reta u e a da circunferência:

$-x-y-2=0 \ \ $ (1)

$x^{2} +y^{2} -8x+2y+12=0 \ \ $ (2)

Isolando x na equação (1) temos:

Vamos substituir o valor de x na equação (2):

$(-y -2)^2 + y^2 - 8(-y -2) + 2y + 12 = 0$ $(-y)^2 - 2.(-y).2 + 2^2 + y^2 + 8y + 16 + 2y + 12 = 0$ $y^2 + 4y + 4 + y^2 + 8y + 16 + 2y + 12 = 0$ $2y^2 + 14y + 32 = 0$

dividindo por 2...

$y^2 + 7y + 16 = 0$

Resolvendo a equação do 2º grau temos:

$\Delta = b^2 -4ac$ $ \Delta = (7)^2 -4.1.16$ $ \Delta = 49-64$

$ \Delta = -15$

Como $ \Delta < 0$ a equação não possui raízes no campo real.

Conclusão: A reta u é externa à circunferência.

A reta s é tangente, pois toca a circunferência em um ponto.
A reta t é secante, pois corta a circunferência em dois pontos.
A reta u é externa, pois não intercepta a circunferência em nenhum ponto.

1) Posições Relativas entre Ponto, Reta e Circunferência: (FGV)

a) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x2 + y2 – 4x = 0 e o ponto P(3, 3). Verificar se P é interior, exterior ou pertencente à circunferência.

b) Dada a circunferência de equação x2 + y2 = 9 e o ponto P(3, 5), obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por P.

2) (UEM) A equação da reta tangente à circunferência (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 no ponto (6, 6) é:

a) 3y – 4x + 6 = 0

b) 4y + 3x – 42 = 0

c) 4y + 3x – 6 = 0

d) 4y – 3y – 6 = 0

e) 3y + 4x – 42 = 0

3) Posições Relativas entre Ponto, Reta e Circunferência: (Esam-RN) A equação da circunferência com centro no ponto (28, 3), tangente externamente à circunferência (x – 4)2 + (y – 2)2 = 64, é:

a) (x – 8)2 + (y – 3)2 = 5

b) (x + 8)2 + (y – 3)2 = 25

c) (x + 8)2 + (y + 3)2 = 25

d) (x – 8)2 + (y + 3)2 = 25

e) (x + 8)2 + (y + 3)2 = 5

4) (U.F. Pelotas) Determinar a equação geral da circunferência concêntrica à circunferência x2 + y2 + 6x – 8y = 0 e tangente ao eixo das ordenadas.

5) Posições Relativas entre Ponto, Reta e Circunferência: (UPF 2015) Sabendo que o ponto P(4, 1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência x2 – 6x + y2 + 4 = 0, então a equação da reta que passa por A e B é dada por:

a) y = – x + 5

b) y = x + 5

c) y = – x + 3

d) y = x – 3

e) y = –1/2x + 5

Atividades sobre Equações de Circunferência.

6) Posições Relativas entre Ponto, Reta e Circunferência: (UEG 2015) Observe a figura a seguir.

Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa pelo centro da circunferência de menor raio, a equação da circunferência de maior raio é:

Estude também sobre: Exercícios de Matemática sobre Médias

a) x2 + y2 + 4x + 4y + 18 = 0

b) x2 + y2 – 4x – 4y – 14 = 0

c) x2 + y2 – 8x – 8y + 14 = 0

d) x2 + y2 + 8x + 8y + 18 = 0

7) (UFOP-MG) Determine a equação da circunferência tangente ao eixo Ox, cujo centro é a intersecção das retas r: y = x + 5 e t: y = – 2x + 8.

8) (UPE 2016) Uma reta r de equação ax + by + c = 0 tangencia a circunferência β de equação x2 + y2 – 2x – 6y – 8 = 0 no ponto P = (– 2, 0). Qual é o valor de a + b + c?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

9) (UFJF 2016) Considere a circunferência C: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9.

a) Determine se o ponto A = (4, – 3) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C.

b) Encontre o(s) valor(es) de para que a circunferência C e a reta y = ax possuam dois pontos em comum.

10) (UECE 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual, a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são as interseções de cada uma das retas x + y – 1 = 0 e x + y + 1 = 0 com a circunferência x2 + y2 = 25, calculada com base na unidade de comprimento (u.c.) adotada no referencial cartesiano considerado, é:

a) 16 (u.c.)2.

b) 14 (u.c.)2.

c) 18 (u.c.)2.

d) 20 (u.c.)2.

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