Como fazer raiz quadrada com multiplicação

O cálculo de raízes está profundamente ligado à multiplicação, mais especificamente à multiplicação em que os termos multiplicados são todos iguais. Quando isso acontece, costuma-se dizer que um número foi multiplicado por ele mesmo.

Os números multiplicados por eles mesmos são chamados de potências. É uma potência, portanto, qualquer número que for multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidade de vezes. Esse número de vezes pode ser de 0 a infinito, dependendo do problema em questão e do tipo de estudo a ser realizado. Observe alguns exemplos de potências:

1·1·1 = 1

2·2·2 = 8

3·3 = 9

Como havia alguns casos em que essas potências eram multiplicações muito extensas, criou-se uma forma diferente de representar as potências. Por exemplo:

13 = 1·1·1 = 1

23 = 2·2·2 = 8

32 = 9

Portanto, para se representar a multiplicação do número 2 por ele mesmo seis vezes, podemos escrever, no lugar de 2·2·2·2·2·2, apenas 26. Essa operação é conhecida como potenciação. No exemplo seguinte,

an = b

a recebe o nome de base, n é o expoente e b é a potência (às vezes também chamamos an de potência). Dessa forma, potenciação é um tipo de multiplicação em que, dada uma base e um expoente, procura-se por uma potência, multiplicando-se essa base por ela mesma.

Muitas vezes, contudo, deparamo-nos com a situação inversa, em que é necessário encontrar a base que gerou uma potência. Esse processo é conhecido como radiciação (calcular a raiz). Utilizando o exemplo anterior, é apresentado o número b, então, devemos procurar pelo número a que foi multiplicado por ele mesmo n vezes. Esse cálculo é representado pelo seguinte símbolo:

Na imagem acima, procuramos a raiz enésima de b. Isso significa que buscamos um número a que, multiplicado por ele mesmo n vezes, tenha como resultado b. Na imagem acima, a é chamado de raiz enésima, b é chamado de radicando e n é chamado de índice.

Exemplo 1: Calcule a seguinte raiz:

Procuramos por um número que, multiplicado por ele mesmo 3 vezes, tenha 27 como resultado. Observe que não procuramos um número que, multiplicado por 3, é igual a 27, mas, sim, um número que multiplicado por si 3 vezes é 27. Portanto, procuramos pelo número A, que cumpre:

A·A·A = 27

Tentando realizar a multiplicação acima com o número 3 no lugar de A, obtemos:

3·3·3 = 27

Então,

Observe que 27 é resultado da multiplicação 3·3·3, que pode ser escrito como 33. Substituímos 27 por 33 e escrevemos a seguinte expressão:

Essa observação leva ao entendimento de que é possível tentar escrever o radicando utilizando a sua decomposição em fatores primos.

Exemplo 2: Calcule a raiz quadrada de 576.

Observe, primeiramente, a decomposição de 576 em fatores primos:

576 |2 288 |2 144 |2   72 |2   36 |2   18 |2     9 |3

    3 |3

Observe que o resultado foi agrupado dois a dois. Isso acontece porque estamos calculando a raiz quadrada. Se fosse raiz cúbica, agruparíamos três a três; raiz quarta, quatro a quatro etc.

Agora basta calcular a raiz:

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

A radiciação, assim como todas as operações do conjunto dos números reais, possui seu inverso, ou seja, quando pegamos um elemento e operamos com seu inverso, o resultado é igual ao elemento neutro.

A adição possui a subtração como operação inversa, a multiplicação possui a divisão como operação inversa, e a potenciação também vai possuir sua operação inversa, que é denominada de radiciação.

Como as demais operações, a radiciação também possui uma série de propriedades, vejamos.

Representação da radiciação

A radiciação é uma operação em que buscamos um número que satisfaz determinada potência. Considere os números a e b números reais e n um número racional, definimos a raiz n-ésima de a como sendo um número que, quando elevado a n, seja igual ao número a, nesse caso, representado por b, ou seja:

Exemplos

a) A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36.

Veja que, para determinar a raiz quadrada de 36, devemos buscar um número que, quando elevamos ao quadrado, seja igual a 36. Logicamente, esse número é o 6.

b) A raiz cúbica de 125 é igual 5, pois 53 = 125.

c) Agora vejamos a raiz décima de 1024. Como não se trata de um número trivial, a melhor saída é realizar a decomposição em fatores primos do 1024 e, em seguida, escrevê-lo na forma de potência.

Veja que o número 1024 = 210, assim o número que, elevado a 10º potência, resulta em 1024 é o número 2, ou seja:

Nomenclatura da radiciação

Considerando a raiz n-ésima anterior, temos a seguinte nomenclatura:

a → Radicando

n → índice

b → raiz

√ → Radical

Propriedades da radiciação

Assim como na potenciação, temos algumas propriedades na radiciação. Nesta a história é a mesma, uma vez que ambas são operações inversas.

Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice

A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base.

Exemplos

Propriedade 2: Potência de expoente radical

A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz. Veja um exemplo:

Leia também: Potências de base 10 — o fundamento da notação científica

Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais

A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos.

Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais

De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.

Veja também: Raiz quadrada: a radiciação com o índice 2

Propriedade 5: Potência de uma raiz

A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente.

Propriedade 6: Raiz de outra raiz

Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.

Propriedade 7: Simplificação de raízes

A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.

Acesse também: Redução de radical ao mesmo índice

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Determine a raiz quadrada de 1024.

Solução

No exemplo do texto, temos a fatoração do número 1024, que é dada por:

1024 = 210

1024 = 2 (5 · 2)

1024 = (25)2

Portanto, a raiz quadrada de 1024 é:

Questão 2 – (Enem) A pele que recobre o corpo dos animais tem participação ativa na manutenção da temperatura corporal, na eliminação de substâncias tóxicas geradas pelo próprio metabolismo do corpo e na proteção contra as agressões do meio exterior.

A expressão algébrica seguinte relaciona a massa (m) em kg de um animal com a sua medida (A) de superfície corporal em m2, e k é uma constante real.

A constante real k varia de animal para animal, segundo a tabela:

Considere um animal com 27 kg de massa e uma área corporal de 1,062 m2.

Segundo a tabela apresentada no enunciado, é mais provável que esse animal seja um:

a) homem.

b) macaco.

c) gato.

d) boi.

e) coelho.

Solução

Alternativa b

Substituindo os dados na fórmula dada no enunciado e escrevendo 27 = 33, temos:

Portanto, é mais provável que o animal em questão seja o macaco.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática