A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a. Show
Leia também: Potenciação e radiciação de frações Videoaula sobre radiciaçãoComo representar a radiciação?Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por: \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\) Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:
Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja: \(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\) A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que: \(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\) Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a. Exemplo 1: \(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\) Exemplo 2: \(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\) Exemplo 3: \(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\) Propriedades da radiciaçãoAs propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação. → A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio aSe queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a. \(\sqrt[n]{a^n}=a\) → A raiz do produto é igual ao produto das raízesQuando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes. \(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) → A raiz do quociente é igual ao quociente das raízesEssa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes. \(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\) Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão. \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) → Multiplicação e divisão do índice com o expoentePodemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número. \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\) \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\) → Raiz de uma raizPara resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes. \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\) → Potência de uma raizQuando há uma potenciação com a raiz, temos que: \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\) → Transformação de uma radiciação em uma potenciaçãoPodemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação. \(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\) Confira nossa videoaula: Propriedades de potência Simplificação de radicaisQuando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível. Exemplo: Simplifique \(\sqrt{392}\): Resolução: Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392: Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2: 392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\) Assim, temos que: \(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\) Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes: \(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\) Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja: \(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\) Então, temos que: \(\sqrt{392}=14\sqrt2\) Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\). Operações com radicais→ Adição e subtraçãoQuando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes. Exemplo: \(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\) Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo. Exemplo: \(5\sqrt3-2\sqrt2\) \(5\cdot1,7-2\cdot1,4\) \(8,5-2,8\) \(5,7\) → Multiplicação e divisãoQuando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical. Exemplo: \(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\) Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical. Exemplo: \(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\) Para igualar os índices, temos que: \(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\) \(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\) \(\sqrt[6]{256∶8}\) \(\sqrt[6]{32}\) Exercícios resolvidos sobre radiciaçãoQuestão 1 (Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado. A) 50 B) \( 6\sqrt[3]{10}\) C) \( 10\sqrt[3]{6}\) D) 720 Resolução: Alternativa B Fazendo a fatoração: Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3: 2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\) Logo: \(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\) \(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\) \(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\) Questão 2 Qual é a raiz cúbica de 4.096? A) 26 B) 24 C) 16 D) 14 Resolução: Alternativa C Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número: Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\). Portanto: \(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\) \(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\) \(\sqrt[3]{4096}=16\) A radiciação, assim como todas as operações do conjunto dos números reais, possui seu inverso, ou seja, quando pegamos um elemento e operamos com seu inverso, o resultado é igual ao elemento neutro. A adição possui a subtração como operação inversa, a multiplicação possui a divisão como operação inversa, e a potenciação também vai possuir sua operação inversa, que é denominada de radiciação. Como as demais operações, a radiciação também possui uma série de propriedades, vejamos. Raiz quadrada e sua operação inversa na calculadora.Representação da radiciaçãoA radiciação é uma operação em que buscamos um número que satisfaz determinada potência. Considere os números a e b números reais e n um número racional, definimos a raiz n-ésima de a como sendo um número que, quando elevado a n, seja igual ao número a, nesse caso, representado por b, ou seja: Exemplos a) A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36. Veja que, para determinar a raiz quadrada de 36, devemos buscar um número que, quando elevamos ao quadrado, seja igual a 36. Logicamente, esse número é o 6. b) A raiz cúbica de 125 é igual 5, pois 53 = 125. c) Agora vejamos a raiz décima de 1024. Como não se trata de um número trivial, a melhor saída é realizar a decomposição em fatores primos do 1024 e, em seguida, escrevê-lo na forma de potência. Veja que o número 1024 = 210, assim o número que, elevado a 10º potência, resulta em 1024 é o número 2, ou seja: Nomenclatura da radiciaçãoConsiderando a raiz n-ésima anterior, temos a seguinte nomenclatura: a → Radicando n → índice b → raiz √ → Radical Propriedades da radiciaçãoAssim como na potenciação, temos algumas propriedades na radiciação. Nesta a história é a mesma, uma vez que ambas são operações inversas. Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base. Exemplos Propriedade 2: Potência de expoente radical A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz. Veja um exemplo: Leia também: Potências de base 10 — o fundamento da notação científica Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos. Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes. Veja também: Raiz quadrada: a radiciação com o índice 2 Propriedade 5: Potência de uma raiz A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente. Propriedade 6: Raiz de outra raiz Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes. Propriedade 7: Simplificação de raízes A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0. Acesse também: Redução de radical ao mesmo índice Exercícios resolvidosQuestão 1 – Determine a raiz quadrada de 1024. Solução No exemplo do texto, temos a fatoração do número 1024, que é dada por: 1024 = 210 1024 = 2 (5 · 2) 1024 = (25)2 Portanto, a raiz quadrada de 1024 é: Questão 2 – (Enem) A pele que recobre o corpo dos animais tem participação ativa na manutenção da temperatura corporal, na eliminação de substâncias tóxicas geradas pelo próprio metabolismo do corpo e na proteção contra as agressões do meio exterior. A expressão algébrica seguinte relaciona a massa (m) em kg de um animal com a sua medida (A) de superfície corporal em m2, e k é uma constante real. A constante real k varia de animal para animal, segundo a tabela:
Considere um animal com 27 kg de massa e uma área corporal de 1,062 m2. Segundo a tabela apresentada no enunciado, é mais provável que esse animal seja um: a) homem. b) macaco. c) gato. d) boi. e) coelho. Solução Alternativa b Substituindo os dados na fórmula dada no enunciado e escrevendo 27 = 33, temos: Portanto, é mais provável que o animal em questão seja o macaco. Por Robson Luiz |