Como calcurar raiz quadrada de 4 5 2 5

A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Leia também: Propriedades envolvendo números complexos

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice

Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112  = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

Observações:

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Mapa Mental: Raiz Quadrada

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.

Exercícios resolvidos

1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100.

Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100

2. Determine a raiz quadrada do número 1024.

√1024

Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos:

1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22

Então,

 Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas.

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

A raiz quadrada de um número X qualquer, é um número Y que, elevado ao quadrado (ou seja, multiplicado por ele mesmo), resulte no número X. Assim, podemos dizer que:

A raiz quadrada é a operação inversa de uma potenciação de expoente 2.

Definição:

Considere a seguinte equação: $$${^n}√{a}=b$$$

• a = radicando
• b = raiz
• $$√$$ = radical
• n = índice

a e b são números reais; n é um número natural maior que 1 (no caso da raiz quadrada, o índice pode ser omitido).

✅ Curiosidade
A origem mais provável do símbolo de radiciação está na letra $$\sc\r$$, inicial da palavra radix (em latim, quer dizer "raiz").

Como calcular a raiz quadrada?

Raiz quadrada exata

Em caso de números mais simples, basta pensarmos em um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte no número cuja raiz queremos descobrir:

Exemplo 1: $$√{4}=2$$, pois $$2^2=4$$, ou seja, $$2×2=4$$.

Exemplo 2: $$√{9}=3$$, pois $$3^2=9$$, ou seja, $$3×3=9$$.

Quando os números vão ficando maiores, esse procedimento se torna mais difícil. De modo que precisamos recorrer à decomposição do número em fatores primos:

Exemplo 3: $$√{576}=$$

$$$576÷2=288$$$ $$$288÷2=144$$$ $$$144÷2=72$$$ $$$72÷2=36$$$ $$$36÷2=18$$$ $$$18÷2=9$$$ $$$9÷3=3$$$ $$$3÷3=1$$$

Agora, agrupamos os divisores dois a dois, da seguinte maneira: $$2²×2²×2²×3²$$. Portanto:

$$$√{576}=√{2²×2²×2²×3²}$$$

Em seguida, os expoentes e o índice são simplificados, resultando no produto $$2×2×2×3=24$$. Ou seja:

$$$√{576}=24$$$

Raiz quadrada não-exata

Nem todos os números possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, conseguimos encontrar a raiz exata de 16 e 25: $$√{16}=4$$ e $$√{25}=5$$, mas não há raiz exata para o número 20, exemplo, de modo que sua raiz é um número decimal entre 4 e 5.

Há duas maneiras de encontrar uma raiz não-exata:

1. Decomposição em fatores primos:

$$$√{20}$$$ $$$20÷2=10$$$ $$$10÷2=5$$$ $$$5÷5=1$$$

Logo: $$√{20}=√{2²×5}$$.

Nesse caso, o expoente 2 é simplificado com o índice. O número 2 passa a multiplicar a raiz, e o número 5 (que não foi simplificado, pois não possuía expoente igual ao índice) permanece dentro da raiz.

Portanto: $$√{2²×5}=2×√{5}$$ ou $$2√{5}$$.

2. Tentativa por aproximação:

Esse segundo método, consiste em multiplicar números decimais por eles mesmos, até encontrar o valor mais próximo da radiciação.

Exemplo: Sabemos que $$√{20}$$ é um número decimal entre 4 e 5. Logo:

$$$4,1×4,1=16,81$$$ $$$4,2×4,2=17,64$$$ $$$4,3×4,3=18,49$$$ $$$4,4×4,4=19,36$$$ $$$4,5×4,5=20,25$$$

Percebemos então, que o número mais próximo para a $$√{20}$$ (com uma casa decimal) é 4,4. Dessa maneira, podemos ir chutando valores, com quantas casas decimais quisermos, embora os cálculos se tornem cada vez mais demorados.

Operações com raizes quadradas

Adição e subtração

Ao tentar somar ou subtrair raizes diferentes, como $$√{5}+√{2}$$, o resultado se mantém o mesmo $$√{5}+√{2}$$, a não ser que encontremos os valores dessas raizes, para em seguida realizarmos a soma: $$√{5}≈2,24$$ e $$√{2}≈1,41$$. Portanto, $$√{5}+√{2}=(2,24)+(1,41)=3,65$$.

Porém, quando se trata de raizes quadradas com o mesmo radicando, conservamos a raiz e efetuamos a soma ou subtração dos números fora da raiz:

Exemplo 1: $$2√{5}+3√{5}= (2+3)√{5}=5√{5}$$

Exemplo 2: $$7√{2}-5√{2}= (7-5)√{2}=2√{2}$$

Multiplicação e divisão

Diferente da adição, o caso da multiplicação permite realizar a operação com raizes diferentes. Caso haja números externos à raiz, eles também podem ser multiplicados entre si.

Multiplica-se números externos com números externos e radicandos com radicandos

Exemplo 1: $$√{3}×√{6}= √{(3×6)}=√{18}$$

Exemplo 2: $$2√{2}×4√{3}= (2×4)√{(2×3)}=8√{6}$$

O caso da divisão é idêntico: números externos com números externos e radicandos com radicandos

Exemplo 3: $$√{15}÷√{5}= √{(15÷5)}=√{3}$$

Exemplo 4: $$6√{10}÷2√{5}= (6÷2)√{(10÷5)}=3√{2}$$