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Em situações cotidianas, o desafio de calcular a raiz quadrada de um número é enfrentado. E se você não tiver acesso a uma calculadora ou qualquer outro gadget? Isso pode ser feito com papel e lápis antigos em um estilo de divisão longa. Sim, existem várias maneiras de fazer isso. Vamos começar discutindo a raiz quadrada e suas propriedades. O que é uma raiz quadrada?Uma raiz quadrada é um valor que dá ao número original aquela multiplicação de si mesmo. por exemplo, 6 multiplicado por ele mesmo dá 36 (ou seja, 6 × 6 = 36), portanto, 6 é a raiz quadrada de 36 ou, em outras palavras, 36 é o número quadrado de 6.
A seguir estão as raízes quadradas dos primeiros 50 dígitos como:
Portanto, a raiz quadrada do quadrado de um número positivo fornece o número original. No entanto, a raiz quadrada de um número negativo representa um número complexo. Propriedades da raiz quadrada
Quadrado perfeitoUm número que pode ser expresso como o produto de dois inteiros idênticos é chamado de quadrado perfeito. Quadrados perfeitos são números que podem ser feitos elevando-se ao quadrado qualquer número inteiro.
Métodos para encontrar a raiz quadrada de um númeroPara determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito, devemos primeiro determinar se é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito. Se o número for um quadrado perfeito, como 4, 9, 16, etc., usaremos o processo de fatoração de primos para fatorá-lo. Devemos usar a abordagem de divisão longa para encontrar a raiz se o número for um quadrado incompleto, como 2, 3, 5 e assim por diante.
1. Método de subtração repetidaSabe-se que a soma dos primeiros n números naturais ímpares é n 2 . Faremos isso para calcular a raiz quadrada de um inteiro subtraindo-o várias vezes. Vamos considerar um exemplo e ver como essa abordagem funciona. Digamos que você deva encontrar a raiz quadrada de 25, que é √25. As etapas são as seguintes: Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de subtração repetida para determinar as raízes quadradas. Exemplo 1: Determine a raiz quadrada de 25 usando o método de subtração repetida.
Exemplo 2: Determine a raiz quadrada de 16 usando o método de subtração repetida.
Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 49 usando o método de subtração repetida. Solução:
2. Método de Fatoração PrincipalO método de fatoração de primos envolve a expressão de números em função de seus fatores primos. A raiz quadrada do número é dada pelo produto de um elemento de cada par de fatores primos iguais. Essa abordagem também pode ser usada para determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou não. Este método, entretanto, não pode ser usado para encontrar a raiz quadrada de números decimais quadrados não perfeitos.
3. Método de DivisãoQuando os inteiros são suficientemente grandes, é fácil obter a raiz quadrada de um quadrado perfeito utilizando a abordagem de divisão longa, porque obter suas raízes quadradas por meio da fatoração se torna demorado e complicado. Para superar esse problema, um novo método para encontrar a raiz quadrada é desenvolvido. Este método usa basicamente a operação de divisão por um divisor cujo quadrado é menor ou igual ao dividendo. A seguir estão as etapas para o método de divisão: Etapa 1: pegue o número cuja raiz quadrada deve ser encontrada. Coloque uma barra sobre cada par do dígito do número, começando daquele no lugar da unidade (lado direito). Etapa 2: vamos dividir o número mais à esquerda pelo maior número cujo quadrado é menor ou igual ao número sob a barra mais à esquerda. Considere este número como o divisor e o quociente. O número sob a barra mais à esquerda é considerado o dividendo. Etapa 3: divida e obtenha o número. Abaixe o número sob a próxima barra à direita do restante. Etapa 4: Dobre o divisor (ou some o divisor a ele mesmo). À direita desse divisor, encontre um número adequado que, junto com o divisor, forma um novo divisor para o novo dividendo. O novo número no quociente terá o mesmo número selecionado no divisor. A condição é a mesma que ser menor ou igual ao dividendo. Etapa 5: continue este processo até chegarmos a zero como o restante. O quociente assim obtido será a raiz quadrada do número. Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de divisão para determinar as raízes quadradas. Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 144 usando o método de divisão. Solução:
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 196 usando o método de divisão. Solução:
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 225 usando o método de divisão. Solução:
4. Raízes quadradas de números complexosPara calcular a raiz quadrada de um número complexo, vamos supor que a raiz seja ea + ib. Em seguida, compare-o com o número original para obter os valores de aeb, resultando na raiz quadrada. Seja a + ib um número complexo, portanto, para encontrar a raiz quadrada de a + ib, a seguinte fórmula pode ser usada Vamos considerar os exemplos a seguir para entender a determinação das raízes quadradas de números complexos. Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 6 - 8i. Solução:
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 9 + 40i. Solução:
Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 3 + 4i. Solução:
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