O losango é uma figura plana que possui quatro lados, todos congruentes. Na geometria plana, ele é considerado um caso particular de quadrilátero, possuindo propriedades importantes. Por ser um quadrilátero, o losango possui duas diagonais: a diagonal menor e a diagonal maior. Elas se cruzam de forma perpendicular, o que torna possível a aplicação do teorema de Pitágoras, relacionando o comprimento do lado e a metade do comprimento de cada uma das diagonais do losango. Essa forma geométrica possui fórmulas específicas para o cálculo de área e de perímetro. Para calcular a área do losango, calculamos a metade do produto entre a diagonal maior e a diagonal menor. Já o perímetro pode ser calculado pela multiplicação da medida do lado por quatro. Leia também: Quais são as principais diferenças entre figuras planas e espaciais? Elementos do losango Conhecemos como losango todo quadrilátero que possui os quatro lados congruentes. Os principais elementos do losango são:
As diagonais são os segmentos que ligam dois vértices não consecutivos. Há duas diagonais no losango. Chamamos de D o comprimento da diagonal maior e de d o comprimento da diagonal menor. Como o losango é um quadrilátero, ele possui:
Veja a imagem a seguir com os principais elementos do losango: d → comprimento da diagonal menor D → comprimento da diagonal maior A,B,C e E → vértices AB, AE, CE e BC → lados do losango O losango é um quadrilátero e também um paralelogramo. Assim, ele possui propriedades herdadas dessas classificações, além de propriedades específicas. Como ele é um paralelogramo, o losango possui:
Além dessas propriedades já existentes para todo paralelogramo, há uma propriedade que é exclusiva do losango: as diagonais são perpendiculares entre si. Ao traçar a diagonal maior e a diagonal menor, elas se cruzam de forma perpendicular. Há uma consequência importante dessa propriedade, que é a relação pitagórica entre a medida dos lados e a metade das medidas da diagonal. Pelo triângulo retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que: Veja também: Qual é a condição de existência de um triângulo? Perímetro do losangoO perímetro de um polígono é o comprimento do seu contorno. No losango, nós sabemos que os quatro lados são congruentes. Assim, para calcular o perímetro dessa figura plana, basta multiplicar a medida do lado por quatro. P = 4l Exemplo: Encontre o perímetro do losango sabendo que um dos lados mede 7,5 centímetros. Para calcular o perímetro, basta multiplicar o comprimento do lado por 4. P = 4 · 7,5 P = 30 centímetros. Área do losangoNa maioria dos polígonos, o cálculo da área está relacionado com o comprimento da base e da altura, mas, no losango em particular, como ele não possui base, calculamos a sua área utilizando os comprimentos das diagonais. Assim, a área do losango é calculada pelo produto entre as diagonais dividido por dois. D → diagonal maior Exemplo: Qual é a área do losango que possui diagonal maior igual a 4 centímetros e diagonal menor igual 3 centímetros? Exercícios resolvidosQuestão 1 - Um terreno possui o formato de um losango, conforme a imagem a seguir, com as medidas dadas em metros. Para cercar o terreno, Matheus precisa saber qual é o perímetro desse losango. Para que ele não precise ir até o terreno realizar a medida dos lados, ele utilizou a propriedade do losango para encontrar o seu perímetro. Supondo que ele tenha acertado, o valor encontrado para o perímetro desse terreno é: A) 100 metros. B) 10 metros. C) 12 metros. D) 120 metros. E) 150 metros. Resolução Alternativa D. Note que o comprimento do lado não é conhecido, então utilizaremos a relação pitagórica para encontrar o lado desse losango. Calculando a metade do comprimento de cada uma das diagonais: D = 16 → D/ 2 = 8 Então, sabemos que: l² = 8² + 6² Agora é possível calcular o perímetro: P = 4l P = 4 · 30 P = 120 metros Questão 2 - Qual é a área de um losango que possui diagonal maior de 15 centímetros e diagonal menor no valor de um terço da diagonal maior? A) 37,5 cm² B) 35 cm² C) 75 cm² D) 70 cm² E) 45 cm² Resolução Alternativa A. Considere: d → comprimento da diagonal menor; D → comprimento da diagonal maior. Sabendo que a diagonal menor mede 1/3 da diagonal maior, então, para encontrar o comprimento d, basta dividir D por três: D = 15 d = 15/ 3 = 5 Agora calculando a área, temos que: O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes, ou seja, com a mesma medida. É composto também por duas diagonais: diagonal maior (D) e diagonal menor (d). Essas duas diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma (exatamente no meio delas). Os ângulos opostos de um losango também são congruentes. Compreendidas as características de um losango, vamos descobrir como sua área é calculada. Onde, D → é a medida da diagonal maior d → é a medida da diagonal menor. Exemplo 1. Se um losango possui diagonal maior medindo 10cm e diagonal menor medindo 7cm, qual será o valor de sua área? Solução: De acordo com o enunciado do exercício, sabemos que D = 10cm e d = 7cm. Como conhecemos os valores das diagonais, vamos aplicar a fórmula.Portanto, o losango apresenta 35 cm2 de área. Exemplo 2. Num losango, a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor. Sabendo que D = 50cm, qual será a medida da área desse losango? Solução: Sabemos que a diagonal maior é o dobro da diagonal menor. Como D = 50cm, podemos afirmar que d = 25cm. Conhecidas as medidas das diagonais, basta utilizar a fórmula da área. Portanto, o losango tem 625 cm2 de área. Exemplo 3. Um losango apresenta área igual a 60 m2. Sabendo que a diagonal menor mede 6m, encontre a medida da diagonal maior. Solução: Como sabemos a medida da área do losango e da diagonal menor, devemos utilizar a fórmula da área para encontrar a medida da diagonal maior. Portanto, a diagonal maior tem 20m de comprimento. Por Marcelo Rigonatto Matemático Equipe Escola Kids |
Calcule a área do losango sabendo que as diagonais medem 37 cm e 24 cm
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