Relações métricas no triângulo retângulo - exercícios com respostas

Mesmo sendo o polígono com o menor número de lados, o triângulo é uma das formas geométricas mais complexas e de maior importância para os estudos matemáticos.

Dizemos que um triângulo é retângulo quando um dos seus três ângulos, que juntos somam 180°, possui 90°, ou seja, é um ângulo reto.

As relações métricas são justamente equações que relacionam as medidas dos segmentos dentro do triângulo retângulo. Antes de citar as relações métricas, devemos relembrar algumas características do triângulo retângulo.

Um dos lados do triângulo retângulo é chamado de hipotenusa. A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo e está sempre do lado oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados menores do triângulo retângulo são chamados de catetos.

No triângulo acima, os catetos são representados por b e c, e a hipotenusa por a.

Se traçarmos uma reta a partir de a teremos a altura h do triângulo retângulo que divide a hipotenusa em dois novos segmentos m, projeção do cateto BA sobre a hipotenusa e n, projeção do cateto BC sobre a hipotenusa.

Teorema de Pitágoras

A primeira relação métrica e a mais utilizada é justamente o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.

a2 = b2 + c2

Exemplo: Sendo a hipotenusa 5 e um dos quadrados 3, defina o valor do outro cateto.

52 = 32 + c2
25 = 9 + c2
c2 = 16
c = 4

Segunda Relação Métrica

A segunda relação métrica é igual à soma das projeções dos catetos sobre a própria hipotenusa, no caso m e n.

a = m + n

Exemplo: Se a hipotenusa vale 10 e sua projeção m 6, quanto vale a projeção n?

a = m + n 10 = 6 + n

n = 4

Terceira Relação Métrica

A terceira relação métrica já envolve a altura formada no triângulo retângulo e diz que o quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

h2 = m * n

Exemplo: Se um triângulo possui duas projeções que valem 20 e 45, quanto mede sua altura?

h2  = m * n
h2 = 20 * 45
h2 = 900
h = 30

Quarta Relação Métrica

Usamos a quarta relação métrica para descobrir o valor dos catetos quando conhecemos o valor de sua projeção sobre a hipotenusa e da hipotenusa.

b2 = a * n
c2 = a * m

Exemplo: Se a hipotenusa mede 40 e a projeção n mede 10, calcule o valor do cateto b.

b2 = a * n
b2 = 40 * 10
b2  = 400
b = 20

Quinta Relação Métrica

Já a quinta relação métrica diz que o produto entre a hipotenusa e a altura é sempre igual ao produto das medidas dos catetos.

a* h = b * c

Exemplo: Se os catetos b e c medem respectivamente 4 e c e a hipotenusa mede 8, calcule o valor da altura deste triângulo retângulo.

a* h = b * c 8 * h = 6 * 4 h = 24 / 8

h = 3

Exercícios resolvidos com Gabarito

As equações que relacionam os segmentos dentro de um triângulo retângulo são chamadas de relações métricas. São elas:

a2 = b2 + c2 a = m + n

h2 = m * n

Veja abaixo como aplicar essas fórmulas nas mais diversas questões:

1) A  figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:

a) 12 m. b) 30 m. c) 15 m. d) 17 m.

e) 20 m.

A questão aborda um simples caso no qual é necessária a aplicação do Teorema de Pitágoras. A hipotenusa é o maior lado do triângulo, está do lado oposto ao ângulo reto e é justamente o valor que precisamos descobrir. Sendo 15m e 8m os dois catetos, podemos realizar o teorema de Pitágoras chamando a hipotenusa de a.

a2 = 82 + 152
a2 = 64 + 225m
a2 = 289

a = 17, letra d.

2) Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. A altura relativa à hipotenusa desse triângulo mede, em cm:

a) 2√3 b) 4√3 cm c) 16√3 cm

d) 3√3 cm

A relação métrica que relaciona as projeções sobre a hipotenusa e a altura do triângulo retângulo é h2 = m * n.

Sendo 8 e 6 m e n, logo:

h2 = 8 * 6
h2 = 48
h = 48

Como não existe a opção raiz de 48, teremos que fatorar 48.

48 |2 24 |2 12 |2 6   |2 3   |3

1

√ 2*2*2*2*3 = 48
4√3 = 48

Resposta letra b.

3) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede 4 cm. Nessas condições, podemos afirmar que a medida da altura relativa à hipotenusa vale:

a) 12/5 cm  b) 12 cm c) 3 cm 

d) 5/12 cm 

Essa questão pede o valor da altura, porém precisamos encontrar a medida do outro cateto antes de encontrar o valor de h. Assim, realizando o Teorema de Pitágoras:

52 = 42 + c2
25 = 16 + c2
c2 = 9
c = 3

Uma vez que o cateto c vale 3, podemos relacionar os 3 valores que conhecemos na equação a * h = b * c e descobrir o valor de h.

a * h = b * c 5 * h = 4 * 3

5 * h = 12

h = 12/5 cm, letra a.

4) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Qual o valor da hipotenusa?

a) 30  b) 24 c) 25 d) 21 

e) 28

Se as projeções diferem em 7 centímetros, podemos chama-las de x e x + 7.

Assim poderemos utilizar a fórmula que envolve o valor da altura e das projeções para resolver o problema.

h2 = m * n
122 = x * (x + 7)
144 = x2 + 7x
x2 + 7x – 144 = 0

Agora, aplicando Bhaskara vamos encontrar o valor de x para essa equação.

Se  x = 9, m = x = 9

n = x+ 7 = 9+ 7 = 16

Sendo m + n = a, a hipotenusa vale 25. Letra c.

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