Exercícios equação do 1 grau com duas incógnitas exercícios 7 ano

EQUAÇÃO DE 1° GRAU COM UMA INCÓGNITA

SENTENÇAS

Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa

exemplo de uma sentença verdadeira

a) 15 + 10 = 25

b) 2 . 5 = 10

exemplo de uma sentença falsa

a) 10 + 3 = 18

b) 3 . 7 = 20

SENTENÇAS ABERTAS E SENTENÇAS FECHADAS

Sentenças abertas são aquelas que possuem elementos desconhecidos. Esses elementos desconhecidos são chamados variáveis ou incógnitas.

exemplos

a) x + 4 = 9 (a variável é x)

b) x + y = 20 (as variáveis são x e y)

Sentenças fechada ou são aquelas que não possuem variáveis ou incógnitas.

a) 15 -5 = 10 (verdadeira)

b) 8 + 1 = 12 (falsa)

EQUAÇÕES

Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade

exemplos

a) x - 3 = 13 ( a variável ou incógnita x)

b) 3y + 7 = 15 ( A variável ou incógnita é y)

A expressão à esquerdas do sinal = chama-se 1º membro

A expressão à direita do sinal do igual = chama-se 2º membro

Em tempos remotos os valores desconhecidos de um determinado problema eram nomeados pelos árabes de xay e em outros casos, até mesmo por outros povos, a sua referência era feita através de figuras geométricas. Em dias atuais a nomenclatura utilizada para determinar o que se quer encontrar em problemas matemáticos é incógnita. Esta palavra deriva do latim incognitu que também significa coisa desconhecida.

A letra a ser usada para representar o valor desconhecido fica a critério do autor da questão, o que realmente importa é a facilitação do cálculo de equações com a introdução dessa ferramenta algébrica aliada a aritmética, a geometria e tantos outros ramos da matemática. Sendo assim, pode-se, ao invés do x, usar-se a, b, c, d,… z, etc.

Em linguagem matemática, se temos uma expressão do tipo 2x – 4 = 0 destacam-se:

• 2 e 4 são coeficientes – representam respectivamente fator e subtraendo da equação exemplificada;
• x é incógnita – valor desconhecido ao qual se está buscando encontrar;
• para x = 2 temos uma sentença verdadeira, ou seja, 2 . 2 – 4 = 0. Ao valor que substituído pela incógnita torna a sentença verdadeira dá-se o nome de raiz da equação. Nesse caso o algarismo 2 é a raiz da equação 2x – 4 = 0.

Exemplos

• 4x + 16 = 0,  4 e 16 são coeficientes, x é incógnita;
• n – 2 = 0,   1 e -2 são coeficientes (o desprezo do 1 não altera o equilíbrio da equação uma vez 1.n =n) e n é a incógnita;
• 1/3a – 5/3 = 0, 1/3 e 5/3  são coeficientes, a é a incógnita.

Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y

   Trata-se  de  uma equação com duas variáveis,  x  e y,  pode ser  transformada  numa  equação  equivalente  mais simples. Assim:

            2x + 3y = 5 + 6

            2x + 3y = 11   ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .

    Na equação ax + by = c, denominamos:

    Exemplos:

   Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis

   Quais o valores de x e y que tornam a sentença  x - 2y = 4 verdadeira?

    Observe os pares abaixo:

    x = 6,  y = 1

     x = 8,  y = 2

    x = -2,  y = -3

     Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.

    Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

    Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto universo 

    Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

• Determine uma solução para a equação 4x - 3y = 11.

            Atribuímos para x o valor 2, e calculamos o valor de y. Assim:

x = 2 


4 * 2 – 3y = 11 
8 – 3y = 11 
– 3y = 11 – 8 
– 3y = 3   (multiplicar por – 1) 
3y = – 3 
y = – 3/3 
y = – 1 


Estabelecendo x = 2, temos y = – 1, constituindo o par ordenado (2, –1). 

Resumindo:

Exemplo 2 
Dada a equação x – 4y = –15, determine os pares ordenados obedecendo ao intervalo numérico –3 ≤ x ≤ 3. 

x = –3 

x = – 2 

x = – 1 

x = 0 

x = 1 

x = 2 

x = 3 

Questões resolvidas sobre equação do 1º grau 

x + 2 = 4

x = 4 - 2

x = 2

6x - 4x = - 20

2x = - 20

x = -20/2

x = - 10

4) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?

Portanto:

7/11 é a raiz da equação.

5) Nos itens que se seguem, determine duas soluções distintas para as equações:

a) 5x-2y=9

b) 

a) Vamos supor que x=0, substituindo na equação temos 5*0-2y=9, que é equivalente a -2y=9. Então, basta isolar a variável y, assim 

b) Vamos supor que x=0, substituindo na equação temos 

. Então basta isolar a variável y, assim 

. Logo, uma solução é o par (x,y)=(0,2).
Agora, para encontrar outra solução, não podemos supor y=0, pois assim o denominador da segunda parcela seria zero, e não existe divisão por zero. Assim, vamos supor y=1, após substituirmos na equação original, temos 

. Isolando a variável x e fazendo a subtração, temos que 

. Portanto, outra solução seria o par 

Para encontrar duas equações que tenha como solução o ponto (x,y)=(3,4), podemos operar x e y de diversas formas, por exemplo, somar as variáveis, assim temos x+y=3+4=7, então a primeira equação pode ser x+y=7. E para encontrar a segunda equação, podemos dobrar o valor de x e subtrair do triplo de y, assim temos 2x-3y=2*3-3*4=6-12=-6 e a segunda equação seria  2x-3y=-6. Note que podemos obter infinitas soluções seguindo esse raciocínio.

7) Resolva as equações abaixo em R.
       3x      x - 10          x + 1  a)   ——— - ——— =  ————           2         8              4            
Resolução:  
 .         8(3x)  2(x - 10)   4(x + 1)         ——— - ——— =  ————          16        16            16     .         8(3x)  -2(x - 10)  = 4(x + 1)     .                                                        24x   - 2x + 20=  4x + 4  .               24x - 2x - 4x = 4- 20 .                                    18x = - 16 .                      x = - 16/18 .                        x = - 8/ 9  .                          S = {-8/9}       x + 6     2x - 3       x - 1  b)   ——— - ——— =  ————           3          6             4                .        4(x + 6)      2(2x - 3)      3(x - 1)         ————— - ————— =  ————             12            12               12  
Resolução:  .       4(x + 6)  - 2(2x - 3)  =  3(x - 1)           .                                                     4x + 24 - 4x + 6 = 3x - 3 .         4x - 4x - 3x = - 3 - 24 - 6 .                                - 3x = - 33 .                    3x =  33 .                     x = 33/3    .                                           x = 11  .                  S = {11}

8) (CFT-2005) Dois números reais x e y são tais que 

 e 

.Sabendo que x 

 -2 e y 

 -3, o valor de “y – x” é

Problemas do 1º grau: aprenda com resolver

Resposta: O número procurado é 7.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y  = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam  essa equação.

1º par: A (4, 0)

2º par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta  r, que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta  r é chamada  reta suporte do gráfico da equação.

Fontes: 

Exercícios resolvidos e propostos sobre problemas do 1º grau 

1) O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje?

Resolução:

Chamemos de v o volume da chuva hoje.

Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:

Somando os termos do primeiro membro temos:

Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:

Ao dividirmos:

Portanto:

O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.

2) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?

Resolução:


Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:

Ou seja:

Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:

Realizando a subtração:

Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:

Que dividindo dá:

Portanto:

Eu tenho 15 anos de idade.

3) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Acertos: representados pela letra x.
Erros: representados por 20 − x.
Portanto:

3 * x – 2 * (20 – x) = 353x – 40 + 2x = 355x = 35 + 405x = 75x = 75/5

x = 15

O candidato obteve 15 acertos e 5 erros.

6) (ENEM/2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre

a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.

Resolução:

Fazendo-se as considerações que:
- o alcance do segundo salto é 1,2 m menor que do primeiro salto
- o alcance do terceiro salto é 1,5 m menor que do segundo salto
- a distância alcançada no primeiro salto é x

Logo, para atingir a meta de 17,4 m, tem-se:

7) (UNIRIO - RJ) Um grupo de amigos vai acampar num final de semana. Sabendo-se que numa certa hora da manhã de domingo, o equivalente a um terço desse grupo está envolvido com o preparo do almoço, o equivalente à metade do grupo cuida da limpeza do acampamento, o equivalente à décima parte desses dois subgrupos colhe flores nas redondezas e um elemento do grupo deleita-se com um livro de crônicas de Zuenir Ventura, quantos elementos tem esse grupo de amigos?

Resolução:

Considerando:

X - a parte do grupo envolvida com o preparo do almoço
Y - a parte do grupo que cuida da limpeza do acampamento
Z - a parte do grupo que colhe flores
V - total do grupo

Então, sabemos:
X = 1/3 V
Y = 1/2 V
Z = 1/10 (X + Y)
V = X + Y + Z + 1

(Este 1 é o elemento do grupo que está a ler)

Agora é só substituir.

V = 1/3 V + 1/2 V + 1/10 [ (1/3 V) + (1/2 V) ] + 1
V = 1/3 V + 1/2 V + 1/30 V + 1/20 V + 1 (reduzindo os termos com "V" ao mesmo denominador)
V = 20/60 V + 30/60 V + 2/60 V + 3/60 V + 1
V = 55/60 V + 1
V - 55/60V = 1 (reduzindo novamente os termos com "V" ao mesmo denominador)
60/60 V - 55/60V =1
5/60 V = 1
5 V = 60
V = 60/5

V = 12

8) Hoje, A soma das idade de um pai e um filho é 52 anos; mas há 10 anos, a idade do pai era 15 vezes a idade do filho. Determine essas idades.

Resolução:

Dados:

x=idade do pai

y=idade do filho

Organizando dados:

x+y=52 [equação 1]

x-10=15*(y-10) [Equação 2]

Pela equação 1, temos:

x+y=52

x=52-y

Substituindo na equação 2, temos:

(52-y)-10=15*(y-10)

52-10-y=15y-150

42+150=16y

16y=192

y=12 anos

Substituindo y por 12, na equação 1, temos:

x=52-12

x=40 anos

Resposta:

Pai=40 anos

Filho=12 anos

16) Ao alugar um carro por um dia, Marcos fez o seguinte contrato: R$ 50,00 a diária mais R$ 0,50 por km. Ao entregar o carro Marcos pagou R$ 150,00. Quantos km ele andou?

17) (CESD-2008) Ao distribuir R$ 80,00 entre duas meninas, de modo que a mais nova receba R$ 16,00 a menos que a mais velha, a quantia dada à mais velha será um valor múltiplo de R$

a) 9,00.
b) 7,00.
c) 5,00.
d) 4,00.

18) Três amigos M, N e P têm juntos R$ 1.054,00. Se M tivesse o dobro do que tem, N tivesse a metade do que tem e P tivesse  R$ 10,00 a mais do que tem, então todos teriam a mesma importância. Quantos reais possui N?

a) 152
b) 294
c)  608
d)  304

19) A idade de uma pessoa é hoje o triplo da idade da outra e daqui a 11 anos será o dobro. A soma de suas idades atuais é:

a) 18
b) 36
c) 48
d) 44

20) Para cercar um terreno retangular de 50 m de comprimento, será feita uma porteira de madeira de 3m de extensão e uma cerca com 5 fios de arame. Se a medida da largura desse terreno é igual a dois quintos da do comprimento, então o número de metros de arame necessário será:

a) 700.                   
b) 685.                   
c) 557.                   
d) 535.

21) Uma pasto retangular de 79,15 m de comprimento e de 4125 cm de largura será cercado com 3 voltas de arame. Se cada rolo de arame tem 120,4 m, então serão necessários ________ rolos.

a) 6
b) 12
c) 9
d) 5

22) O triplo de um número, diminuído de 12, é igual a 33. Qual é esse número? 

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