Como resolver regra de tres com raiz quadrada

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Regra de três simples é utilizada em problemas que envolvem a relação entre duas ou mais grandezas. Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido. Esses problemas podem ser de ordem direta ou inversamente proporcional e são muito frequentes no cotidiano.

Saiba mais: Regra de três composta: constituída por mais de duas grandezas

Como calcular a regra de três simples?

Para calcular a solução de um problema utilizando a regra de três simples, temos que fazer a razão entre as grandezas e analisar se estas são direta ou inversamente proporcionais. Vamos lembrar como é cada uma delas?

Exemplos

Exemplo 1 - Uma empresa gasta 6 peças de plástico para produzir um ventilador. Quantas peças são necessárias para produzir 25 ventiladores?

Para resolver esse problema, vamos dispor os dados em uma tabela, a fim de facilitar nossa interpretação.

Veja que as grandezas são diretamente proporcionais, visto que, quanto mais peças de plástico temos, mais ventiladores confeccionamos. Assim:

Exemplo 2 - Uma empresa de costura com 6 costureiras consegue terminar uma demanda de serviço em 24 dias. A fim de fazer o mesmo serviço com 8 costureiras, quantos dias serão necessários para terminá-lo?

De maneira semelhante, vamos dispor os dados do problema em uma tabela:

Observe que as grandezas são agora inversamente proporcionais, pois quanto mais costureiras temos, menos dias de serviço serão necessários. Precisamos inverter uma das grandezas antes de prosseguir com a conta, veja:

Leia também: Três erros cometidos na regra de três

Como calcular porcentagem com regra de três?

Para calcular porcentagem de algo utilizando regra de três, temos que ter em mente que 100% sempre irão ser equivalentes ao todo e que as razões referentes à porcentagem são constituídas sobre um denominador 100.

Um senhor pegou emprestado com um amigo uma quantia de R$ 3.000 para quitar uma dívida no banco. Entretanto esse senhor teve um gasto inesperado com seu carro e gastou a quantia de R$ 600. Quantos por cento esse senhor gastou do total?

3000 ---------- 100%

600 ------------- x

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Unisinos - RS) Sabendo-se que a distância entre duas cidades num mapa, na escala 1: 1.600.000, é de 8 cm, qual é a distância real entre elas?

a) 2 km

b) 12,8 km

c) 20 km

d) 128 km

e) 200 km

Solução:

Sabemos que cada um centímetro no mapa equivale a 1.600.000 centímetros na vida real. Assim:

Resposta: alternativa d

Questão 2 - (Unicamp - SP) A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a dois nonos. Se a soma das duas idades é igual a 55 anos, então Pedro tem:

a) 12 anos

b) 13 anos

c) 10 anos

d) 15 anos

Solução:

Vamos nomear a idade de Pedro por P e a idade do pai de Pedro por C. Logo:

Resposta: alternativa c

A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Leia também: Propriedades envolvendo números complexos

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice

Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112  = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

Observações:

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Mapa Mental: Raiz Quadrada

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.

Exercícios resolvidos

1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100.

Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100

2. Determine a raiz quadrada do número 1024.

√1024

Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos:

1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22

Então,

 Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas.

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Por Robson Luiz
Professor de Matemática