Como representar raiz quadrada na reta real intervalos

O conjunto dos números reais é formado a partir da união dos seguintes conjuntos: Números Naturais: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,....) Números Inteiros: (....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....) Números Racionais: (números na forma de a/b, com b≠0 e decimais periódicos. Ex: 1/2; 3/5; 0,25; 0,33333.....) Números Irracionais: (números decimais não periódicos. Ex. 0,2354658752485879.....)

Intervalo Real

Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ , {xЄR/a < x < b} Aberto à esquerda e aberto à direita

Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b], {xЄR/a < x ≤ b}

Intervalos infinitos

{xЄR/x > a}

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

Conjuntos Numéricos - Matemática - Brasil Escola 

1. 1. Conjuntos numéricos e intervalos na reta numérica e real http://youtu.be/WT-XMn4rz9s
2. 2. Importância dos números no nosso dia a dia. • O primeiro contato com os números é através da contagem. • Os números estão presentes nas mais diversas situações do nosso dia a dia.
3. 3. • Brasil tem 3,6 milhões de crianças e jovens fora da escola • 06/03/2013 - 12h49 • Educação • Mariana Tokarnia • Repórter da Agência Brasil • Brasília – No Brasil, 3,6 milhões de crianças e jovens entre 4 e 17 anos estão fora da escola. A maioria (2 milhões) tem entre 15 e 17 anos e deveria estar cursando o ensino médio. O déficit também é grande entre aqueles com idade entre 4 e 5 anos (1 milhão), que deveriam estar na educação infantil. • Os dados foram divulgados hoje (6) no relatório De Olho nas Metas, do movimento Todos pela Educação (TPE)*. A entidade estabelece que até 2022, 98% ou mais dos jovens e crianças entre 4 e 17 anos estejam matriculados e frequentando a escola. • que em 2011, ano referente ao levantamento, 94,1% dos brasileiros dentro da faixa etária estivesse • Para que essa meta seja cumprida, seria necessário m na escola. O número atual corresponde a 92%. Em relação aos que ficam de fora, em números absolutos, o estudo os compara a toda a população uruguaia (cerca de 3,4 milhões de pessoas).
4. 4. Conjuntos numéricos • Os tipos diferentes de números podem ser organizados em grupos. • Esses grupos tem nomes, sabendo isso nos vamos entende melhor a linguagem da matemática
5. 5. Conjunto dos números naturais Como resolver esta questão
6. 6. (4 – 6) = ? Para resolver questões como esta, foram criados os números inteiros.
7. 7. Vamos ver o que acontece com a divisão de números inteiros (Z), será que o cociente é sempre um número inteiro dividendos Nestes casos os dividendos são múltiplos dos divisores e o cociente e sempre um número inteiro. divisores cocientes
8. 8. Mas e quando o dividendo não é múltiplo do divisor? • O resultado é um número decimal exato. Dividendo não é múltiplo do divisor
9. 9. Se tentássemos dividir 2:3= teríamos uma fração Se tentássemos dividir 1:9, teríamos uma dízima periódica.
10. 10. Conjunto dos números racionais (Q) • Inclui os conjuntos • Números Inteiros (Z) • As frações • Números decimais exatos • Dizimas periódicas 0,1111 2,5
11. 11. Característica comum a todos os números racionais (Q) • Número racional e aquele que pode ser escrito em forma de fração. • 5 = 5/1 = 10/2 = 15/3 • 0,8 = 8/10 = 4/5 = 12/15
12. 12. O conjunto dos números naturais (N), está contido no conjunto dos números inteiros (Z), por sua vez o conjunto dos números inteiros (Z), está contido no conjunto dos números racionais.
13. 13. Os diagramas abaixo representam de forma bem simples os números: naturais, inteiros e racionais
14. 14. Revisando – Conjunto dos números Reais (Q) • 5 – está na forma de número inteiro. • 15/3 – 5 na forma fracionária 15:3=5. • 2,5 – um número racional também pode ser um decimal exato. • 0,171717...... Ou na forma de dízima periódica.
15. 15. Reta numérica, números racionais
16. 16. Número decimal exato e dizima periódica • São números racionais
17. 17. A reta e o conjunto dos números irracionais. • 0,1717171717... Dizima Periódica o período se repete periodicamente, portando um número racional • 0,1011011101111011111... Não é um número decimal exato, nem uma dízima periódica, são chamados números irracionais.
18. 18. Número irracional • Definição: É um número Real que não é racional.
19. 19. Números irracionais • Números naturais até 100 que são quadrados perfeitos, possuem raiz quadrada exata. • 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 81 100 • 2 = quando o radicando não é um quadrado perfeito é um número irracional. Se efetuarmos na calculadora, vamos ter como resultado. 1.414213562373095
20. 20. Números Irracionais • Portanto 2 = 1.414213562373095... é um número irracional, o período não se repete e é infinito. • 3 = 1,73205080... Também é um número irracional, não tem raiz quadrada exata e não é uma dízima periódica. • 5 = 2.236067977... Outro número irracional
21. 21. Como representar os números irracionais na reta numérica? • Já sabemos representar os números racionais na reta numérica. • Vamos aprender como representar na reta numérica um número irracional 2
22. 22. Como representar 2 na reta numérica • Primeiro vamos precisar da ajuda de uma construção geométrica. Vamos construir um triângulo retângulo (que tem um dos lados um ângulo de 90⁰) isósceles . Também vamos utilizar o teorema de Pitágoras.
23. 23. Teorema de Pitágoras • A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. a² = b² + c² • hipotenusa b a c Somente para os triângulos retângulos catetos
24. 24. Como representar 2 na reta numérica • a² = b² + c² • x² = 1² + 1² • x² = 2 • x² = 2 1 1 x a b c Então chegamos a conclusão que a medida da hipotenusa é a 2
25. 25. Como representar 2 na reta numérica • Com o compasso em zero tomamos a medida da hipotenusa e marcamos na reta numérica
26. 26. Se girarmos o compasso para esquerda teremos a localização - 2 Essa representação serviu para mostrar que 2 pode ser representada em um ponto exato.
27. 27. Vamos tentar um meio mais simples utilizando como exemplo 5 • Podemos localizar a posição aproximadamente • Exemplo:
28. 28. Vamos tentar um meio mais simples utilizando como exemplo 5 • Vamos lembrar dos números que tem raiz quadrada exata (quadrados perfeitos). • 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 81 100 Utilizando as raízes exatas acima sabemos que: 4 < 5 < 9 2 < 5 < 3 Raiz quadrada de 4 é 2 e raiz quadrada de 9 é 3, concluímos que raiz quadrada de 5 está entre 2 e 3.
29. 29. Localizamos nosso ponto, aproximadamente
30. 30. Podemos melhorar esse cálculo aproximado • Sabemos que 5 está entre 2 e 3 vamos tentar 2,1 • (2,1)²= 2,1 x 2,1 = 4,41 • Vamos tentar agora com 2,2 • (2,2)²= 2,2 x 2,2 = 4,82 – achamos um valor bem aproximado.
31. 31. Desmembrando os conjuntos Conjunto dos números naturais. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} Conjunto dos números naturais não nulos. N* = {1, 2, 3, 4, 5...} Conjunto dos números inteiros. Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} Conjunto dos números inteiros não nulos. Z* = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}
32. 32. Números Reais Qualquer número racional ou irracional é chamado de número REAL. Podemos dizer portanto, que número real é todo número decimal, finito ou infinito, indica-se por “R” o conjunto dos números reais e R*o conjunto dos números reais não nulos. R+ = {x | x é número real positivo ou nulo} R*̟ = {x | x é número real positivo} R_ = {x | x é número real negativo ou nulo} R*̠ = {x | x é número real negativo}

Para representar um intervalo na reta real, precisamos nos atentar às extremidades do conjunto. a) O intervalo (-1,3] possui extremidades -1 e 3. Entretanto, o -1 não pertence ao conjunto e o 3 pertence. Então, na reta real, devemos colocar no -1 uma bolinha aberta e no 3 uma bolinha fechada.

Como representar os números na reta real?

Para representar números racionais, escreva-os na forma decimal e os marque na reta numérica conforme o exemplo a seguir: 3,25 é um número formado por 3 inteiros e 25 centésimos. Logo, dividiremos o espaço entre 3 e partes iguais e marcaremos a que representa 25, como na imagem acima.

Como representar os intervalos?

Geometricamente representamos por uma bolinha branca indicando o elemento não incluído: O intervalo também é aberto quando indicamos apenas um dos extremos e o outro pode ser uma infinidade de elementos à direita ( ) ou à esquerda ( ).

Como calcular intervalo real?

Intervalo real, em matemática, nada mais é do que um conjunto em que há um número real entre dois extremos indicados, podendo ou não conter aqueles extremos. Por exemplo, temos um conjunto em que os elementos são maiores ou iguais a 0, e menores ou iguais a 1, sendo esse intervalo representado por 0 ≤ x ≤ 1.

Como fazer a intersecção de intervalos?

A intersecção de dois conjuntos é formada pelos elementos comuns tanto a A quanto a B . Ao contrário da união, a intersecção de dois intervalos é sempre um novo intervalo.

O que significa bolinha aberta num intervalo matemático?

Quando temos um ponto de bolinha aberta, significa que o limite daquela função NÃO incluí aquele número marcado, enquanto que quando a bolinha está fechada representa que o limite do intervalo aquele número como uma das possíveis raízes.

Como representar PI na reta real?

π = 3,1 + 0,0416.

Como representar raiz quadrada na reta real?

Para encontrar a raiz quadrada na reta numérica, devemos analisar um intervalo entre dois números quadrados perfeitos. Esta questão está relacionada com a reta numérica. A reta numérica é uma maneira de dispor os números inteiros sob o eixo das abscissas, de forma crescente.

Como representar intervalo aberto e fechado?

A distância entre dois pontos quaisquer sobre a reta real representa um intervalo numérico. ou aberto, de acordo com o tipo de intervalo). Observação: as notações podem ser [a, b] para intervalo fechado e (a, b) para intervalo aberto. Usa-se colchetes ou parênteses respectivamente para fechado ou aberto.

Como saber o intervalo de um número?

Um conjunto é subconjunto de outro, quando todos os seus elementos também fazem parte deste outro conjunto. Ora, se o conjunto de quem estamos falando é o dos números reais (ℝ), então qualquer trecho de valores que escolhermos dentro da reta real, pode formar um subconjunto dos números reais, ou seja, um intervalo.

Como é utilizada a representação por intervalos?

• Geralmente, a representação por intervalos é usada para demonstrar subconjuntos dos números reais, entretanto, ela também é igualmente útil quando envolve qualquer outro conjunto numérico. Por exemplo: O subconjunto S dos números reais maiores que 5 e menores ou iguais a 10 é representado da seguinte maneira: S = {x ε N/5 < x ≤ 10}

Quais são os intervalos reais?

• Tipos de intervalos reais: Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos os números reais compreendidos entre p e q, podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p – q, chamada amplitude do intervalo.

Qual é o conjunto de intervalos?

• É o conjunto [a,b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b }. Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas. E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos.

Como a resolução de problemas depende de intervalos?

• Em diversas situações a resolução de problemas depende de operações com intervalos, como a união, a intersecção e a diferença.