Observe abaixo o desenho de cinco gráficos qual desses gráficos representa uma função

No Ensino Fundamental, funções são fórmulas matemáticas que associam cada número de um conjunto numérico (o domínio) a um único número pertencente a outro conjunto (o contradomínio). Quando essa fórmula é uma equação do segundo grau, temos uma função do segundo grau.

As funções podem ser representadas por figuras geométricas cujas definições coincidem com suas fórmulas matemáticas. É o caso da reta, que representa funções do primeiro grau, e da parábola, que representa funções do segundo grau. Essas figuras geométricas são chamadas de gráficos.

A ideia central da representação de função por um gráfico

Para desenhar o gráfico de uma função, é preciso avaliar qual elemento do contradomínio está relacionado com cada elemento do domínio e marcá-los, um a um, em um plano cartesiano. Quando todos esses pontos forem marcados, o resultado será justamente o gráfico de uma função.

Vale ressaltar que as funções do segundo grau, geralmente, são definidas em um domínio igual a todo o conjunto dos números reais. Esse conjunto é infinito e, por isso, é impossível marcar todos os seus pontos em um plano cartesiano. Desse modo, a alternativa é esboçar um gráfico que possa representar em parte a função avaliada.

Antes de qualquer coisa, lembre-se de que as funções do segundo grau possuem a seguinte forma:

y = ax2 + bx + c

Diante disso, apresentamos cinco passos que tornam possível a construção de um gráfico de função do segundo grau, exatamente como os que são exigidos no Ensino Médio.

Passo 1 – Avaliação geral da função

Existem alguns indicadores que ajudam a descobrir se o caminho certo está sendo tomado ao construir o gráfico de funções do segundo grau.

I - O coeficiente “a” de uma função do segundo grau indica sua concavidade, ou seja, se a > 0, a parábola será para cima e possuirá ponto de mínimo. Se a < 0, a parábola será para baixo e possuirá ponto de máximo.

II) O primeiro ponto A do gráfico de uma parábola pode ser facilmente obtido apenas observando o valor do coeficiente “c”. Desse modo, A = (0, c). Isso ocorre quando x = 0. Observe:

y = ax2 + bx + c

y = a·02 + b·0 + c

y = c

Passo 2 – Encontrar as coordenadas do vértice

O vértice de uma parábola é o seu ponto de máximo (se a < 0) ou de mínimo (se a > 0). Ele pode ser encontrado pela substituição dos valores dos coeficientes “a”, “b” e “c” nas fórmulas:

xv = – b
       2a

yv = – ∆
        4a

Desse modo, o vértice V é dado pelos valores numéricos de xv e yv e pode ser escrito assim: V = (xv,yv).

Passo 3 – Pontos aleatórios do gráfico

É sempre bom indicar alguns pontos aleatórios cujos valores atribuídos à variável x sejam maiores e menores que xv. Isso lhe dará pontos antes e depois do vértice e tornarão o desenho do gráfico mais fácil.

Passo 4 – Se possível, determine as raízes

Quando existem, as raízes podem (e devem) ser incluídas no desenho do gráfico de uma função do segundo grau. Para encontrá-las, faça y = 0 para obter uma equação do segundo grau que possa ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Lembre-se de que resolver uma equação do segundo grau é o mesmo que encontrar suas raízes.

A fórmula de Bhaskara depende da fórmula do discriminante. São elas:

x = – b ± √∆
     2a

∆ = b2 – 4ac

Passo 5 – Marcar todos os pontos obtidos no plano cartesiano e ligá-los, de modo a construir uma parábola

Lembre-se de que o plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares. Isso significa que, além de conter todos os números reais, essas retas formam um ângulo de 90°.

Exemplo de plano cartesiano e exemplo de parábola.

Exemplo

Construa o gráfico da função do segundo grau y = 2x2 – 6x.

Solução: Observe que os coeficientes dessa parábola são a = 2, b = – 6 e c = 0. Dessa maneira, pelo passo 1, podemos afirmar que:

1 – A parábola ficará para cima, pois 2 = a > 0.

2 – Um dos pontos dessa parábola, representado pela letra A, é dado pelo coeficiente c. Logo, A = (0,0).

Pelo passo 2, observamos que o vértice dessa parábola é:

xv = – b
      2a

xv = – (– 6)
     2·2

xv = 6
      4

xv = 1,5

yv = – ∆
        4a

yv = – (b2 – 4·a·c)
      4·a

yv = – ((– 6)2 – 4·2·0)
     4·2

yv = – (36)
         8

yv = – 36
         8

yv = – 4,5

Logo, as coordenadas do vértice são: V = (1,5, – 4,5)

Utilizando o passo 3, escolheremos apenas dois valores para a variável x, um maior e outro menor que xv.

Se x = 1,

y = 2x2 – 6x

y = 2·12 – 6·1

y = 2·1 – 6

y = 2 – 6

y = – 4

Se x = 2,

y = 2x2 – 6x

y = 2·22 – 6·2

y = 2·4 – 12

y = 8 – 12

y = – 4

Logo, os dois pontos obtidos são B = (1, – 4) e C = (2, – 4)

Pelo passo 4, que não precisa ser feito caso a função não possua raízes, obtemos os seguintes resultados:

∆ = b2 – 4ac

∆ = (– 6)2 – 4·2·0

∆ = (– 6)2

∆ = 36

x = – b ± √∆
     2a

x = – (– 6) ± √36
  2·2

x = 6 ± 6
     4

x' = 12
      4

x' = 3

x'' = 6 – 6
     4

x'' = 0

Logo, os pontos obtidos por meio das raízes, tendo em vista que, para obter x = 0 e x = 3, foi preciso fazer y = 0, são: A = (0, 0) e D = (3, 0).

Com isso, obtemos seis pontos para desenhar o gráfico da função y = 2x2 – 6x. Agora basta cumprir o passo 5 para construí-lo definitivamente.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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 (M110253H6) Observe, abaixo, o gráfico da função f: [– 5, 6] → [– 4, 4].

A função f é estritamente decrescente

A) no intervalo [– 5, 0].

B) no intervalo [– 3, 4].

C) no intervalo [0, 6].

D) no intervalo [– 5, – 3] e no intervalo [4, 6].

E) no intervalo [– 2, 1] e no intervalo [1, 3].

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M120355G5) Em um shopping foi inaugurada uma pista de corrida cujo formato é a justaposição de duas semicircunferências e um retângulo com as medidas indicadas no desenho abaixo. Para proteção, existe uma mureta em todo o contorno dessa pista.

Qual é a extensão dessa mureta de proteção?

A) 251,20 m

B) 371,20 m

C) 622,40 m

D) 4 800 m

E) 5 144 m

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M100028CE) O campo de futebol abaixo tem as seguintes medidas:

A medida da área desse campo, em metros quadrados, é

A) 3 840

B) 1 920

C) 272

D) 136

E) 56

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M110206G5) Para a apresentação de um trabalho da escola, Aline precisa construir uma pirâmide de papelão, como a da figura abaixo.

Qual das figuras a seguir pode ser usada como molde para Aline construir essa pirâmide?

A)

B)

C)

D)

E)

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M100422H6) Uma torneira foi aberta para completar a capacidade de uma caixa d’água de 1 000 litros que, inicialmente, estava com 250 litros de água. A quantidade de litros que flui dessa torneira, por hora, é constante. Ao completar a capacidade de 1 000 litros na caixa, duas horas e meia depois, essa torneira foi fechada.
Qual é o gráfico que expressa a relação entre a quantidade de água nessa caixa e o tempo que a torneira ficou aberta?

A)

B)

C)

D)

E)

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

 (M120288H6) Uma decoradora de festas utiliza cilindros de gás hélio, de mesmo volume, para encher balões. Com 3 desses cilindros ela consegue encher 45 balões de mesmo tamanho, terminando com todo o conteúdo dos cilindros. Essa decoradora precisa encher 105 desses balões para uma festa de aniversário. Quantos desses cilindros no mínimo, a decoradora deve providenciar para encher todos os balões dessa festa?

A) 35

B) 20

C) 15

D) 7

E) 3

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M100114ES) As raízes do polinômio P(x) = 2x² – 2x – 40 são 5 e – 4.
A expressão que representa esse polinômio na forma fatorada é

A) P(x) = (x + 5) . (x – 4)

B) P(x) = (x + 5) . (x + 4)

C) P(x) = (x – 5) . (x – 4)

D) P(x) = 2.(x + 5) . (x – 4)

E) P(x) = 2.(x – 5) . (x + 4)

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M120896E4) O gráfico a seguir apresenta as atribuições de um funcionário durante uma semana de trabalho.

A tabela que representa os dados desse gráfico é

A)

B)

C)

D)

E)

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

 (M120169ES) João anotou os gastos extras que teve no mês de janeiro em uma tabela, como a representada abaixo.

O gráfico que melhor representa os dados dessa tabela é

A)

B)

C)

D)

E)

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

 (M120400ES) A tabela abaixo relaciona o volume de água de um reservatório com o tempo necessário para atingir esse volume.

A expressão algébrica que relaciona o volume V, em litros, com o tempo t, em minutos, é

A) V = 34t + 170

B) V = 5t + 170

C) V = 34 + t

D) V = 170t

E) V = 34t

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M120384H6) Observe abaixo o esboço do gráfico de uma função polinomial do 1o grau f: IR → IR.

A representação algébrica dessa função é

A) f(x) = x + 4.

B) f(x) = x – 4.

C) f(x) = – 4x.

D) f(x) = – 4x + 1.

E) f(x) = – 4x + 4.

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M120126H6) Daniele tinha um plano de internet cujo valor mensal era de R$ 89,00. Ela optou por outro pacote de internet da mesma operadora, por oferecer uma conexão mais veloz. Com esse novo plano, o valor mensal pago por Daniele sofreu um aumento de 33%.
O novo valor a ser pago pela contratação desse pacote de internet será de

A) R$ 29,37.

B) R$ 59,63.

C) R$ 91,90.

D) R$ 118,37.

E) R$ 122,00.

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

 (M120227H6) A função polinomial do 1o grau f: IR → IR possui coeficientes angular e linear igual a 2.
A representação gráfica dessa função f é

A)

B)

C)

D)

E)

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

 (M100398H6) Amanda comprou uma forma de bolo com formato de bloco retangular, cujas medidas internas estão representadas na figura abaixo.

A capacidade máxima, em cm³, dessa forma é

A) 220

B) 500

C) 600

D) 1100

E) 3000

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

 (M120935E4) Observe abaixo o gráfico de uma função polinomial do 1º grau.

Qual é a lei de formação dessa função?

A) f(x) = − 3x + 3

B) f(x) = − x + 4

C) f(x) = − x + 3

D) f(x) = 2x + 1

E) f(x) = 3x + 3

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M100007CE) O valor “V”, em reais, para produzir x unidades de um componente mecânico é dado por V(x)= 5x + 100.
Qual é o valor para se produzir 100 unidades desse produto?

A) R$ 150,00

B) R$ 200,00

C) R$ 205,00

D) R$ 600,00

E) R$ 1 000,00

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M100109H6) A tabela abaixo relaciona as matrículas das crianças de 0 a 7 anos nas instituições estaduais de ensino nas 5 sub-regiões de um determinado estado, no ano de 2010.

De acordo com os dados dessa tabela, as duas regiões que apresentaram a maior quantidade de crianças de 0 a 7 anos matriculadas em instituições estaduais de ensino foram

A) I e II.

B) II e IV.

C) III e IV.

D) III e V.

E) IV e V.

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

 (M100521E4) Observe os pontos representados no plano cartesiano abaixo.

Qual desses pontos tem coordenadas (4, – 3)?

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

 (M120225H6) O gráfico abaixo apresenta o desempenho do Brasil em relação à quantidade de medalhas olímpicas conquistadas entre os anos de 1996 a 2012.

Disponível em: <http://www.cob.org.br/pt/time-brasil/brasil-nos-jogos/medalhas-do-time-brasil/>. Acesso em: 28 jul. 2015. *Adaptado para fins didáticos.

De acordo com esse gráfico, a quantidade total de medalhas obtidas pelo Brasil nas Olimpíadas de 2000 a 2008 é

A) 31

B) 35

C) 37

D) 52

E) 69

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(M100231H6) Getúlio cercará um terreno triangular que será utilizado no plantio de algodão. Esse terreno já possui cerca em dois de seus lados, sendo necessário cercar apenas o terceiro lado, conforme representado na figura abaixo.

Qual é a medida do comprimento do lado desse terreno que deverá ser cercado?

A) 200 m

B) 600 m

C) 800 m

D)

E)

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 (M100168H6) Um atleta saltou de um trampolim posicionado a uma altura de 4,7 metros em relação ao chão. Esse salto descreveu uma trajetória parabólica, como apresentado no desenho abaixo.

A equação que descreve a trajetória desse salto, em relação ao sistema de coordenadas apresentado nessa figura, é dada por y = – 0,5x² + 2,5x.
A altura máxima h, aproximada, que o atleta alcançou em relação ao chão foi

A) 4,7 metros.

B) 5,0 metros.

C) 6,3 metros.

D) 7,2 metros.

E) 7,8 metros.

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M100296H6) A representação da reta numérica abaixo está dividida em partes iguais.

Os pontos M e N indicam, respectivamente, as localizações de quais números nessa reta numérica?

A) – 0,9 e 1,9.

B) – 0,5 e 1,5.

C) – 0,1 e 0,3.

D) 0,1 e – 0,3.

E) 0,5 e 1,5.

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M120323ES) Para embalar um presente, Mauro confeccionou duas caixas cúbicas de papelão, uma com a aresta medindo 18 cm e a outra 12 cm. A espessura do papelão usado é desprezível.
Qual é, em centímetros quadrados, a quantidade mínima de papelão que Mauro gastou para confeccionar essas embalagens?

A) 5 500

B) 2 808

C) 1 944

D) 1 296

E) 1 080

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

 (M120247H6) Um grupo de amigos alugou um salão de festas no valor de R$ 900,00 para realizar uma confraternização no final do ano e esse valor seria dividido igualmente entre eles. Devido a um contratempo, um deles não pode ir à festa e, então, o valor do aluguel foi dividido entre os que estavam presentes, o que resultou em R$ 30,00 a mais por pessoa do que o valor acordado inicialmente.
Quantos amigos dividiram o valor do aluguel desse salão?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 29

E) 30

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M110375E4) Observe os triângulos abaixo.

Quais desses triângulos são semelhantes?

A) I, II e III.

B) I, II e V.

C) I e III.

D) II e IV.

E) III e V.

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

(M110763E4) Observe a reta numérica desenhada abaixo. Ela está dividida em segmentos de mesma medida.

O ponto P representa nessa reta o número

A) 2,31.

B) 2,32.

C) 2,33.

D) 2,41.

E) 2,60.

"Tem dúvidas! Entre em uma conta."

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