Como fazer a planificação de um paralelepípedo?

A planificação de sólidos geométricos é muito útil para o cálculo da área e também para a criação de moldes para realizar a montagem desses sólidos. Os principais sólidos são o cubo, o paralelepípedo, o prisma, a pirâmide, o cilindro e o cone. Existem diferentes formas de planificação de um sólido, que é a representação em duas dimensões. Para montar um dado, por exemplo, precisamos construir, o molde desse dado, ou seja, a sua planificação.

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O que é planificação?

Conhecemos como planificação de um sólido geométrico a representação de todas as suas faces em forma bidimensional, permitindo visualizar o todo do sólido. Utilizamos a planificação também como molde para a criação desses sólidos.

O cubo é uma das formas bastante comuns no nosso dia a dia. O dado, por exemplo, possui formato de um cubo, assim como o cubo mágico e caixas. O cubo é composto por 12 arestas, 6 faces quadradas e 8 vértices.

Planificação de paralelepípedos

O paralelepípedo pode ser identificado em caixas de sapato, tijolos, entre outros. Ele possui 6 faces (formadas por quadriláteros no formato de paralelogramos), 12 arestas e 8 vértices.

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Planificação de prismas

De forma geral, o prisma é um poliedro que possui duas bases iguais, ligadas pelas faces laterais. Essas bases podem ter vários formatos, como triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, entre outros. O número de faces, arestas e vértices depende da base. Ele também é muito comum no nosso dia a dia, já que existem caixas que possuem formatos diferentes em suas bases.

Planificação de pirâmides

As pirâmides também podem possuir bases diferentes, que podem ser triangulares, quadradas, pentagonais, entre outras. A planificação também depende da base da pirâmide, assim como o número de faces, vértices e arestas. As pirâmides do Egito, por exemplo, possuem base quadrada.

Planificação de cilindros

O cilindro é um corpo redondo e é igualmente comum no nosso dia a dia. Essa é a forma geométrica de latas de refrigerante, canos, entre outros objetos. O cilindro possui duas bases no formato de círculo, e sua face lateral tem o formato de um retângulo. Em sólidos arredondados, não faz sentido falarmos de números de faces e arestas, já que elas são arredondadas.

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Planificação do cone

O cone possui uma base circular, e sua área lateral possui formato de um arco. Objetos como casquinha de sorvete, chapéu de aniversário, entre outros, possuem formato de um cone.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem 2012) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão a planificação dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir da planificação?

A) Cilindro, primas de base pentagonal e pirâmide.

B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

E) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Resolução

Alternativa A. Analisando as características de cada uma das planificações, notamos que a primeira possui duas bases circulares e área lateral retangular, logo é um cilindro. Já a segunda planificação possui duas bases pentagonais, e as áreas laterais são retângulos, o que indica que ele é um prisma de base pentagonal.

Por fim, a terceira figura possui uma base triangular ao meio, o que faz com que ela seja uma pirâmide de base triangular.

Questão 2 - (Enem 2015) Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotip o seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura:

A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões planificadas:

Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa?

A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Resolução

Alternativa C. Analisando as planificações, a alternativa que possui duas faces opostas pintadas é a III, que, ao construir o cubo, respeita as características solicitadas pela empresa. Quanto às demais, ao formarem a caixa, as faces pintadas ficariam uma ao lado da outra, contrariando o pedido da empresa.  

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

O Paralelepípedo é uma figura geométrica espacial que faz parte dos sólidos geométricos.

Trata-se de um prisma que possui base e faces em formato de paralelogramos (polígono de quatro lados).

Em outras palavras, o paralelepípedo é um prisma quadrangular com base de paralelogramos.

Faces, Vértices e Arestas do paralelepípedo

O paralelepípedo possui:

• 6 faces (paralelogramos)
• 8 vértices
• 12 arestas

Classificação do paralelepípedo

De acordo com a perpendicularidade de suas arestas em relação a base, os paralelepípedos são classificados em:

Paralelepípedos Oblíquos: possuem arestas laterais oblíquas à base.

Paralelepípedos Reto: possuem arestas laterais perpendiculares à base, ou seja, apresentam ângulos retos (90º) entre cada uma das faces.

Lembre-se que o paralelepípedo é um sólido geométrico, ou seja, uma figura com três dimensões (altura, largura e comprimento).

Todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras planas. Para exemplificar melhor, confira abaixo a planificação do paralelepípedo reto:

Fórmulas do paralelepípedo

Segue abaixo as principais fórmulas do paralelepípedo, onde a, b e c são as arestas do paralelogramo:

• Área da Base: Ab = a.b
• Área Total: At = 2ab+2bc+2ac
• Volume: V = a.b.c
• Diagonais:
  

Fique Atento!

Os paralelepípedos retângulos são prismas retos que apresentam base e face retangulares.

Um caso especial de paralelepípedo retângulo é o cubo, figura geométrica com seis faces quadrangulares. Para calcular a área lateral de um paralelepípedo retângulo utiliza-se a fórmula:

Al = 2(ac+bc)

Donde, a, b e c são arestas da figura.

Para complementar sua pesquisa sobre o tema, veja também:

• Prisma
• Polígonos
• Relação de Euler: vértices, faces e arestas

Exercícios Resolvidos

Segue abaixo dois exercícios de paralelepípedo que caíram no Enem:

1) (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza:

a) massa b) volume c) superfície d) capacidade

e) comprimento

2) (Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:

a) 5 cm b) 6 cm c) 12 cm d) 24 cm

e) 25 cm