Como determinar a distância entre os pontos

Dizemos que a distância entre os pontos A e B é a medida do segmento de reta que liga o ponto A ao ponto B. Dessa forma, a distância entre dois pontos é um comprimento.

Essa medida pode ser obtida de diversas formas. As mais comuns são duas: medir o segmento de reta que liga os pontos distintos A e B utilizando alguma ferramenta que possui esse fim ou utilizar um resultado proveniente da Geometria Analítica.

Os instrumentos mais conhecidos que são utilizados para medir segmentos de reta são: régua, trena e fita métrica.

Já o resultado proveniente da Geometria Analítica depende da localização dos pontos A e B e baseia-se no cálculo do comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo.

Cálculo da distância entre dois pontos

Para calcular a distância entre os pontos A e B, devemos escolher pontos que possuem coordenadas quaisquer A (x1, y1) e B (x2, y2). Essas coordenadas representam a localização dos pontos A e B em um plano. A distância entre esses dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta na cor lilás na imagem a seguir.

O cálculo dessa distância é feito por meio da seguinte fórmula:

Para utilizá-la, basta substituir os valores numéricos das coordenadas dos pontos A e B nos locais indicados na fórmula e realizar os cálculos.

Exemplos

1 – Calcule a distância entre os pontos A(1,1) e B(1,4).

Primeiramente, mostraremos por meio do plano cartesiano que dAB = 3. Observe a figura a seguir:

Agora, vamos mostrar que, utilizando a fórmula para o cálculo de distância entre dois pontos, encontraremos que a distância entre A e B (dAB) é igual a 3. Observe:

Exemplo 2 – Calcule a distância entre os pontos A(– 2, 4) e B(2,2).

Não é necessário fazer qualquer desenho para calcular a distância entre dois pontos, pois basta ter em mãos as coordenadas de dois pontos quaisquer do plano e utilizar a fórmula proposta acima. Observe:

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

A distância entre dois pontos é o primeiro conceito aprendido e um dos mais importantes dentro da geometria analítica, considerando que outros conceitos dessa área derivam da ideia de distância entre dois pontos.

Leia também: Condição de alinhamento de três pontos

O que é distância entre dois pontos?

A distância entre dois pontos depende do lugar geométrico em que esses pontos estão localizados. Por exemplo, se dois pontos estão em uma reta, a distância é dada pelo módulo da diferença entre eles, veja:

Imagine a seguinte situação, em uma viagem, quando estamos passando por uma rodovia, temos algumas placas que marcam o quilômetro ou posição em que estamos naquele instante. Em um instante inicial passamos pela placa km 12, em seguida passamos pela placa km 68.

Para sabermos quanto andamos, é preciso considerar as duas placas: a do km 12 e a do km 68. Desse modo calculamos o módulo da diferença entre esses dois pontos para obtermos a distância percorrida, assim:

|12 - 68|=

|68 - 12| =

56 km

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Para determinar a distância entre dois pontos no plano cartesiano, é necessário realizar a análise tanto no sentido do eixo das abscissas (x) quanto no do eixo das ordenadas (y). Confira:

Note que na distância entre o ponto A e B existe uma variação tanto no eixo x quanto no eixo y, logo, a distância entre os pontos deve ser dada em função dessas variações.

Veja também que a distância entre os pontos é a hipotenusa do triângulo formado. Além disso, aplicando o teorema de Pitágoras e isolando o lado dab, temos:

Leia também: Generalidades sobre as equações da reta

Fórmula da distância entre dois pontos

A distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é definida pelo comprimento do segmento representado por dab e tem medida dada por:

Como calcular a distância entre dois pontos?

Para determinar a distância entre dois pontos no plano, basta substituir corretamente os valores das coordenadas dos pontos na fórmula. Veja a seguir:

Calcular a distância entre os pontos P (-3, -11) e Q (2, 1).

Perceba que na fórmula devemos subtrair os valores das abscissas de cada ponto e, em seguida, elevar ao quadrado, e o mesmo deve acontecer com os valores das ordenadas. Assim:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Sabendo que a distância entre os pontos A e B é de (raiz de 29) e que o ponto A (1, y_a) pertencente ao eixo O_x e B (-1, 5), determine y_a.

Solução:

Substituindo na fórmula de distância entre dois pontos, temos:

Como o ponto A pertence ao eixo X, então de fato y = 0.

Questão 2 – (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:

a) -1

b) 0

c) 1 ou 13

d) -1 ou 10

e) 2 ou 12

Solução

Substituindo os dados do enunciado, temos:

Resolvendo a equação do segundo grau, segue que:

Resposta: Alternativa C 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

O cálculo da distância entre dois pontos no espaço é um assunto discutido na Geometria Analítica e tem suas bases no teorema de Pitágoras. Utilizando esse teorema, é possível chegar à fórmula usada para calcular o comprimento do segmento de reta que liga dois pontos.

Para calcular a distância entre dois pontos no espaço, é necessário calcular antes a distância entre dois pontos no plano. Adiante demonstraremos como esses cálculos são feitos para obter a fórmula em questão.

Fórmula da distância entre dois pontos no espaço

Existe uma fórmula para calcular a distância entre dois pontos no espaço, dada por meio de suas coordenadas. Assim sendo, sejam os pontos A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), a distância entre A e B, denotada por dAB, é dada pela seguinte expressão:

Para calcular a distância entre dois pontos, basta substituir os valores numéricos das coordenadas dos pontos em questão na fórmula acima.

Exemplo

Calcule a distância entre os pontos A = (4, -8, -9) e B = (2, -3, -5).

Obtendo a distância entre dois pontos no espaço

Na imagem a seguir há três eixos coordenados que representam o que seria o equivalente ao plano cartesiano no espaço. Note que fixamos dois pontos nele:

Para calcular a distância entre esses dois pontos, é necessário calcular a distância entre os pontos no plano xy, formados pelas coordenadas (xA, yA) e (xB, yB), que serão denotados por A1 e B1, respectivamente.

Dessa forma, observe que os pontos A1 e B1 estão localizados como ilustrado na imagem a seguir e a distância entre eles é representada pelo segmento A1B1. Além disso, a imagem da direita contém um esquema de como essa estrutura é vista por cima, o que é chamado de projeção ortogonal sobre o plano xy.

Os catetos do triângulo à direita são a diferença entre as coordenadas de seus pontos, isto é, a base tem comprimento igual a xB – xA e a altura tem comprimento yB – yA. Desse modo, pelo teorema de Pitágoras, temos:

Para obter a distância entre dois pontos no plano, basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação acima. Contudo, nosso objetivo é obter a fórmula para a distância no espaço. Para tanto, observe que o segmento A1B1 possui o mesmo tamanho da base do triângulo ABC, ilustrado na figura abaixo.

Note também que a distância de B até C é justamente a diferença zB – zA, pois AC é paralelo a A1B1. Desse modo, pelo teorema de Pitágoras, teremos a distância entre A e B, denotada por dAB: