A parte da Matemática responsável pelo agrupamento de elementos é denominada Análise Combinatória. Ao realizar agrupamentos de elementos devemos analisar as condições determinadas. Por exemplo, em algumas situações não devem ocorrer a presença de termos repetidos, e em outros casos, essa restrição não é imposta. Esse tipo de agrupamento é resolvido através do princípio multiplicativo, que consiste na multiplicação das possibilidades de cada posicionamento. Show
Exemplo 1 Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, forme números de 3 algarismos, respeitando as seguintes condições: a) os números podem ser repetidos centenas dezenas unidades 5 5 5 Podemos utilizar 5 possibilidades na casa das centenas, 5 na casa das dezenas e 5 na casa das unidades. 5 * 5 * 5 = 125 números b) Números distintos centenas dezenas unidades 5 4 3 Utilizaremos 5 possibilidades na casa das centenas, 4 na casa das dezenas e 3 na casa das unidades. 5 * 4 * 3 = 60 números Observe que na situação envolvendo números distintos, as possibilidades de posicionamento da casa das centenas, dezenas e unidades foram diferentes. Essa condição anula a possibilidade de ocorrer números iguais, condicionando a multiplicação, a fornecer o resultado de forma exata.Exemplo 2 Uma senha de 6 dígitos deve ser escolhida com a utilização dos algarismos representantes da base decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A condição estabelecida informa que os números precisam ser distintos, assegurando senhas complexas. Quantas senhas podem ser formadas? 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 151.200Podem ser formadas 151.200 senhas. Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva a) Na palavra UFPEL, que possui 5 letras, temos duas vogais (U,E). Segundo o exercício, deveremos ter estas vogais sempre juntas, restando 3 letras para combinarmos com estas vogais. Com isso, se permutarmos estas 3 consoantes (F,P,L), teremos; P3 = 3! = 3.2.1 =6 Como são duas vogais, teremos duas maneiras de permutá-las entre si (UE ou EU), entretanto devemos verificar as possíveis posições destas vogais na palavra. _____ _____ _____ _____ _____ Como as vogais têm que estar juntas, consideraremos uma só letra. Sendo assim, ao invés de termos 5 letras, as vogais se tornarão uma só, com isso, teremos 4 letras. _____ _____ _____ _____, sendo que as vogais poderão ocupar qualquer um desses 4 espaços, ou seja, existem 4 possibilidades para as vogais aparecerem nas combinações. Uma outra forma de analisar essa possibilidade para as vogais, seria descrever os possíveis casos. U _ __E _ _____ _____ _____; Ou seja, 4 possibilidades. Finalizando as contas teremos a seguinte expressão para as possibilidades. Possibilidades = 4.P2 .P3 P3 = Permutação das letras (FPL) ; P2 = Permutação das vogais (U,E) Possibilidades = 4.P2 .P3 = 4.2.3 = 48 b) As letras PEL tornam-se uma única palavra, sem permutação entre as letras, pois elas devem estar juntas e na mesma ordem, restando apenas UF para permutarmos. Devemos, então, calcular quantas maneiras diferentes teremos para combinar as letras PEL em toda a palavra. PEL ____ ____ ____ PEL ____ ____ ____ PEL Ou seja, há três combinações para as letras PEL nesta palavra. Possibilidades = 3.P2 P2 = Permutação das letras (UF) Possibilidades = 3 .P2 = 3.2 = 6 Temos então 6 possibilidades.
Vamos dividir em dois grupos: os números terminados em 0 e os não terminados em 0. Como não há interseção (nenhum número pode ao mesmo tempo terminar e não terminar em 0), temos 256 + 72 = 328 números pares de 3 algarismos distintos. Este método é conhecido como Método Construtivo. Quantos são os números naturais de 3 algarismos distintos?Podem ser formados 60 números naturais de 3 algarismos distintos. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0 1 2 3 4 5 e 6?De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5? Alternativa correta: d) 100. O número formado deve conter 3 algarismos para preencher a posição de centena, dezena e unidade. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7?336 números. Com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos números naturais de 3 algarismos existem? Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens. Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 1 4 5 6 7 é 9?#ERROR! Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados dispondo dos algarismos 1 2 3 4 é 5 resolva por arranjo é combinação?Teremos: Ou seja, podemos formar 60 números com 3 algarismos distintos, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Quantos números naturais de três algarismos podem ser representados pelos números 2 3 4 7 8 é 9?Ex2: Quantos números naturais de três algarismos podem ser representados com os algarismos 2,3,4,7,8 e 9? Como não há restrição no enunciado, pode haver repetição de algarismos, ou seja, podemos considerar números como 223 e 999. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1 2 é 3?3 resposta(s) Respostas: Respostas: 336 possibilidades! Quais são os números distintos?Temos que algarismos distintos são aqueles que se distinguem, ou seja, não podem ser iguais. Por exemplo, o número 11, possui dois algarismos iguais, o 1. De outro modo, se pegarmos o número 25, possuem dois algarismos distintos, o 2 e o 5. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4?Podemos forma 5x5x5= 125 números de três algarismos. Este é um exemplo espero ter ajudado. Para o algarismo das centenas temos 5 possibilidades, assim como para o algarismo das dezenas e para o das unidades. Podemos forma 5x5x5= 125 números de três algarismos. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 e 7?Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Solução: 7.6.5.4.3! Resposta: Podemos formar 840 números diferentes. Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9?Questão 1. Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9? Resposta correta: c) 3 024 senhas. Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem. Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1 3 5 6 8 9?distintos podem ser formados com os algarismos 1,3,5,6,8,9? Resp.: 120 números. Quantos números de dois algarismos diferentes podem escrever com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 9?1) Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? RESPOSTA: 1ª maneira: utilizando a fórmula. Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9. Quantos números diferentes e de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 5 7 e 8?3 resposta(s) 60 números. Quantos números com 3 algarismos distintos são formados com os algarismos 1 3 5 7 e 9?C = 5 × 4 × 3 = 60 (números com 3 algarismos diferentes). Quantos números ímpares podemos formar usando uma única vez cada um dos algarismos 3 4 7 8 e 9?Resposta: 72 números. Explicação passo-a-passo: Para ser ímpar basta terminar em um número ímpar.
Quantos números podemos formar com 2 algarismos diferentes?Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9. Para o algarismos das dezenas temos 9 opções e, para o algarismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos 9 . 8 = 72 possibilidades. Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar com os dígitos 2 4 6 e 8?2 = 120 possibilidades. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos 2 4 6 e 8 * A 15 B 10 C 12 d 18?Pode formar 24 números diferentes! Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados com os números 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9?Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados com os números: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? 33. 45. Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1 2 3 e 4?Portanto, podemos escrever 12 números com 2 algarismos diferentes com os dígitos 1, 2, 3 e 4. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7?336 números. Com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos números naturais de 3 algarismos existem? Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens. Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões. Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 2 3 4 e 5?partir do conjunto {2, 3, 4, 5, 6} Temos 5 possibilidades para o primeiro dígito. Como os dois dígitos devem ser distintos, temos 4 possibilidades para o segundo. Então, temos 17 números compostos. Quantos números de 4 algarismos podemos formar com 1 4 7 8 e 2?a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar? A questão não pede distinção, ou seja, os números podem ser escolhidos mais de uma vez. 5x5x5x5 – 25x5x5 – 125×5 = 625 números d quatro algarismos. Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados Usando-se os algarismos 2 3 4 e 5?partir do conjunto {2, 3, 4, 5, 6} Temos 5 possibilidades para o primeiro dígito. Como os dois dígitos devem ser distintos, temos 4 possibilidades para o segundo. Então, temos 17 números compostos. Quantos números pares de dois algarismos distintos podem ser formados com os algarismos de 1 a 9?assim, temos 4.4 = 16 números distintos. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos 3 5 7 e 6?Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6? Então são 4 possibilidades para as dezenas, são quatro dígitos diferentes, e para as unidades serão 3, pois não queremos repetidos, portanto: 4 . 3 = 12 números de dois algarismos distintos. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1 2 3 4 5 7 e 8?3 resposta(s) 336 possibilidades! Quantos números naturais com 4 algarismos distintos é possível formar usando os números 1 2 3 4 5 e 6?Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Solução: 7.6.5.4.3! Resposta: Podemos formar 840 números diferentes. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 6 a 100 B 120 C 216 D 250 e 359?15 = 360 maneiras. |
Dispondo dos algarismos 7, 8 e 9, quantos números distintos de dois algarismos podem ser formados
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