Usando os algarismos 1 2 3 4 e 6 quantos números ímpares de 3 algarismos podemos formar

RD Resoluções

Há mais de um mês

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Nesse problema de contagem, o princípio multiplicativo será usado para resolver a questão.

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Os algarismos de 1 a 6 vão formar um número com 4 algarismos.

1. 4 algarismos podem formar:

Com repetição de algarismos: 6x6x6x6 = 1296 números

Sem repetição de algarismos: 6x5x4x3 = 360 números

1. Número com 4 algarismos distintos terminados com 6:

No primeiro algarismo, temos 5 opções. No segundo, 4 opções. No terceiro, 3 opções. No quarto, 1 única opção: o algarismo 6.

Logo: 5x4x3x1 = 60 números

1. Números pares de 4 algarismos distintos:

Supondo que termine com o algarismo 2, temos:

5x4x3x1 = 60 números.

Se terminar com o algarismo 4, teremos 60 possibilidades. Para o algarismo 6 também.

Logo, podemos formar 60+60+60 = 180 números pares.

1. Números ímpares de 4 algarismos distintos:

No item A), calculamos todas as possibilidades de formar números de 4 algarismos sem repetição.

Logo, basta subtrairmos a quantidade de números pares do total.

360 - 180 = 180 números.

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A)

Com repetição, \(\boxed{1296}\)

Sem repetição, \(\boxed{360}\)

B)


\[\boxed{60}\]


C)


\[\boxed{180}\]


D)


\[\boxed{180}\]

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Nesse problema de contagem, o princípio multiplicativo será usado para resolver a questão.

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Os algarismos de 1 a 6 vão formar um número com 4 algarismos.

1. 4 algarismos podem formar:

Com repetição de algarismos: 6x6x6x6 = 1296 números

Sem repetição de algarismos: 6x5x4x3 = 360 números

1. Número com 4 algarismos distintos terminados com 6:

No primeiro algarismo, temos 5 opções. No segundo, 4 opções. No terceiro, 3 opções. No quarto, 1 única opção: o algarismo 6.

Logo: 5x4x3x1 = 60 números

1. Números pares de 4 algarismos distintos:

Supondo que termine com o algarismo 2, temos:

5x4x3x1 = 60 números.

Se terminar com o algarismo 4, teremos 60 possibilidades. Para o algarismo 6 também.

Logo, podemos formar 60+60+60 = 180 números pares.

1. Números ímpares de 4 algarismos distintos:

No item A), calculamos todas as possibilidades de formar números de 4 algarismos sem repetição.

Logo, basta subtrairmos a quantidade de números pares do total.

360 - 180 = 180 números.

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A)

Com repetição, \(\boxed{1296}\)

Sem repetição, \(\boxed{360}\)

B)


\[\boxed{60}\]


C)


\[\boxed{180}\]


D)


\[\boxed{180}\]

Joao Ledo Fonseca

Há mais de um mês

Temos 6 algarismos (1,2,3,4,5 e 6) para preencher 4 posições. Sendo sem repetição de algarismos, por cada uma das quatro posições temos menos um algarismo disponivel (o usado na posição anterior)

A) Podemos formar

6x6x6x6=1296

B) Se o ultimo algarismo é sempre 6, e com todos os algarismos diferentes:

5x4x3x1= 60

C) Os pares são o 2, 4 e 6 (total de 3 algarismos). Usando um dos pares para a ultima posição, vem

5x4x3x3=180

D) Os impares são o 1,3 e 5 (três algarismos). Usando um deles na ultima posição, vem

5x4x3x3=180

Maria Milena Santo

Há mais de um mês

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas

Exercicios de Análise Combinatória

Na página Análise Combinatória, você encontra a teoria necessária para resolver os exercícios aqui propostos, sendo que alguns deles possuem resposta ou alguma ajuda. Nem sempre os exercícios aparecem em ordem de dificuldade crescente.

1. Se \(C(n,2)=28\), qual é o valor de \(n\)?
   Resposta: \(n=8\).
2. Existe um número \(n\) natural tal que \(C(n,3)=C(n,2)\)?
3. Usando o desenvolvimento binomial de \((1+1)^n\), demonstrar que:
   

   \(C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n\)

4. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que:
   

   \((p+1)C(n,p+1)=(n-p)C(n,p)\)

5. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
   

   \(n \cdot C(n-1,p)=(n-p) \cdot C(n,p)\)

6. Se \(A(n,2)=42\), qual é o valor de \(n\)?
   Resposta: \(n=7\).
7. Justificar a afirmação: Se \(n\) é um número primo e \(p<n\), então \(n\) é um divisor de \(C(n,p)\).
8. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
   

   \(2{\cdot}4{\cdot}6{\cdot}8{\cdot}10·...2n=(2n)n!\)

9. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:

   \(1{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}9\cdots{\cdot}(2n-1)=\dfrac{(2n)!}{2^n n!}\)

10. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
    

    \(2{\cdot}6{\cdot}10{\cdot}14{\cdot}18{\cdot}22\cdots{\cdot}(4n-2)=\dfrac{(2n)!}{n!}\)

11. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que para \(k\leq p\) vale a igualdade

    \(A(n,k)=\dfrac{A(n,p)}{A(n-k,p-k)}\)

12. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que para \(k \leq n\), vale a igualdade: \(Pr(n;k+(n-k))=C(n,k)\).
13. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
    

    \(1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+n(n!)=(n+1)!-1\)

14. Demonstrar que para todo número \(k\) natural: \(\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!} =\dfrac{k}{(k+1)!}\).
15. Demonstrar que:
    

    \(\dfrac{1/2!+2/3!+3/4!+...+n}{(n+1)!}=\dfrac{1}{(n+1)!}\)

    
    Auxílio: Como esta é uma série telescópica, em que cada termo pode ser escrito como a diferença de dois outros que se anulam em sequência, basta usar o fato que para todo \(k\leq n\), vale a relação: \(\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}\).
16. Demonstrar que:
    

    \(A(n,p) = p[A(n-1,p-1)+A(n-2,p-1)+...+A(p-1,p-1)]\)