Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes

Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam e que estão no mesmo plano. Em outras palavras, um polígono é uma figura geométrica limitada por lados. Os polígonos são chamados regulares quando são convexos, possuem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos congruentes.

O polígono a seguir é um exemplo de hexágono regular. Observe as medidas de seus lados e ângulos:

Antes de iniciar a discussão a respeito das propriedades dos polígonos regulares, vale lembrar a definição de polígono convexo, que é usada para definir o polígono regular.

Polígonos convexos

São chamados de polígonos convexos aqueles que não possuem reentrâncias. Entretanto, geometricamente, a definição é outra: um polígono não é convexo quando for possível escolher pontos A e B em seu interior de modo que pelo menos um ponto do segmento de reta AB fique fora desse polígono. Caso contrário, o polígono é convexo.

A seguir, veja um polígono convexo, à esquerda, e outro, à direita, não convexo:

Propriedades dos polígonos regulares

1ª Propriedade – Todo polígono regular possui o mesmo número de vértices, lados, ângulos internos e ângulos externos. Para verificar isso, observe no exemplo a seguir um heptágono regular com sete lados, sete vértices, sete ângulos internos e sete ângulos externos.

2ª Propriedade – A medida de cada ângulo interno de um polígono regular pode ser obtida por meio da seguinte fórmula:

a = (n – 2)180
      n

Essa fórmula é usada para encontrar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo dividido pelo número de lados que o polígono possui.

Como exemplo, temos que cada ângulo interno de um octógono regular mede 135°, pois:

a = (n – 2)180
     n

a = (8 – 2)180
      8

a = (6)180
      8

a = 1080
8

a = 135°

3ª Propriedade – A medida de cada ângulo externo de um polígono regular é obtida pela seguinte fórmula:

e = 360
     n

Nessa fórmula, n é o número de lados do polígono.

Assim, cada ângulo externo de um hexágono regular mede 60°, pois:

e = 360
     n

e = 360
     6

e = 60°

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:

Polígono é uma figura geométrica plana formada por diversos elementos. Todavia, apenas um desses elementos é responsável pela definição dessas figuras: o lado.

O lado de um polígono é um segmento de reta qualquer pertencente ao seu contorno. Os triângulos, por exemplo, possuem três lados; os retângulos possuem quatro lados, e os pentágonos possuem cinco lados, exatamente a mesma quantidade de segmentos de reta do contorno desses polígonos.

Os outros elementos presentes nos polígonos são: ângulos internos, ângulos externos, diagonais e vértices.

Para ser considerada polígono, uma figura geométrica precisa ser formada por uma linha única, fechada e formada apenas por segmentos de reta. Além disso, esses segmentos de reta não podem cruzar-se.

A figura abaixo apresenta alguns exemplos de polígonos:

Os polígonos A, B e C são formados por 4, 5 e 6 segmentos de reta, respectivamente. Note que esses segmentos, em cada polígono, formam uma linha fechada e não se cruzam de forma alguma. A imagem seguinte apresenta alguns exemplos de figuras geométricas que não são polígonos.

As figuras geométricas A, B e C não são fechadas, portanto, não podem ser consideradas polígonos. Já a figura D possui um cruzamento de segmentos de reta e, por essa razão, também não pode ser considerada polígono.

Polígonos convexos:

Dados dois pontos A e B quaisquer interiores a um polígono, se o segmento de reta determinado por esses dois pontos estiver inteiramente contido no interior do polígono, então esse polígono será convexo. A figura abaixo apresenta alguns exemplos de polígonos convexos.

Note que, independentemente da posição dos pontos A e B, A' e B' ou A'' e B'', o segmento determinado por esses pontos sempre estará inteiramente contido no interior de seus respectivos polígonos. Por outro lado, a imagem abaixo representa um polígono não convexo. Isso acontece porque o segmento AB não está totalmente contido no interior do polígono, mesmo que os pontos A e B estejam.

Dica: Os polígonos que têm um vértice voltado para dentro, formando uma espécie de “boca”, não são convexos.

Polígonos Regulares:

Um polígono é considerado regular quando ele é convexo e possui todos os lados e ângulos com a mesma medida. Observe na imagem abaixo alguns exemplos de polígonos regulares.

Observe que, em cada polígono da imagem acima, todos os lados e ângulos têm a mesma medida. Observe também que um polígono regular de quatro lados é sempre um quadrado e um polígono regular de três lados é sempre um triângulo equilátero.

Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta. Os polígonos dividem-se em dois grupos, os convexos e os não convexos. Quando um polígono possui todos os seus lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos internos iguais, trata-se de um polígono regular. Os polígonos regulares podem ser nomeados de acordo com a quantidade de seus lados.

Veja também: Construção de polígonos circunscritos

Elementos de um polígono

Polígono é a figura plana e fechada formada pela união de um número finito de segmentos de retas. Assim, considere um polígono qualquer:

Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do polígono e são formados pelo encontros dos segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA, chamados lados do polígono.

Os segmentos AF, AE, AD e BG são as diagonais do polígono. (Perceba que esses são alguns exemplos de diagonais, no polígono anterior temos mais dessas.) Diagonais são segmentos de retas que “ligam” os vértices do polígono.

Nomenclatura de um polígono

Podemos nomear os polígonos de acordo com seu número de lados. Veja na tabela a seguir o nome dos principais polígonos.

Note que não é necessário decorar a tabela e sim entendê-la. Com exceção do triângulo e do quadrilátero, a formação da palavra é:

Número de lados + gono

Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono.

Exemplo

Determine o nome do polígono a seguir:

Classificação dos polígonos

Os polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos lados iguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos ângulos iguais.

Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular.

Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, ou seja, a circunferência que está “dentro” da circunferência.

Leia mais: Semelhança de polígonos: veja quais são as condições

Soma dos ângulos internos de um polígono

Seja ai um ângulo interno de um polígono regular de n lados, representaremos a soma desses ângulos internos por Si.

Assim, a soma dos ângulos internos é dada por:

Si = (n - 2) · 180°

Para calcular o valor de cada ângulo interno, basta pegar o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados, ou seja:

ai = Si
       n

Exemplo 1

Determine a soma dos ângulos internos e, em seguida, a medida de cada ângulo interno de um icoságono.

Sabemos que um icoságono possui vinte lados, logo, n = 20. Substituindo nas relações, temos:

Si = (n - 2) · 180°

Si = (20 - 2) · 180°

Si = 18 · 180°

Si = 3240°

Agora, para determinar o valor de cada ângulo interno, basta dividir o valor encontrado pelo número de lados:

ai = 3240°
    20

ai = 162°

Exemplo 2

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 720°, determine o polígono.

Substituindo a informação do enunciado na fórmula, temos:

720° = (n - 2) · 180°

720° = 180n – 360°

180n = 720° + 360°

180n = 1080°

n = 1080°
      180°

n = 6 lados

Assim, o polígono procurado é o hexágono.

Soma dos ângulos externos de um polígono

A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360°.

Se = 360°

ae = Se
         n

ae = 360°
      n

Diagonais dos polígonos

Considere um polígono de n lados. Para determinar o número de diagonais (d), utilizamos a seguinte relação:

d = n · (n - 3)
     2

Exemplo

Determine o número de diagonais de um pentágono e represente-as graficamente.

Sabemos que um pentágono possui cinco lados, assim, n = 5. Substituindo na expressão, temos que:

d = 5 · (5 - 3)
      2

d = 5 · 2
      2

d = 5

Área e perímetro dos polígonos

O perímetro de polígonos é definido pela soma de todos os lados. A área de um polígono é calculada a partir da divisão do polígono em figuras cujo cálculo da área é mais fácil, como o triângulo e o quadrado.

AΔ = base · altura
        2

Aquadrado = base · altura

Exemplo

Determine uma expressão matemática que represente a área de um hexágono regular.

Solução:

Inicialmente, considere um hexágono regular e todos os segmentos de retas que liguem o centro do polígono a cada vértice. Assim:

Perceba que, devido ao fato do hexágono ser regular, ao dividi-lo, encontramos seis triângulos equiláteros, logo, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero, ou seja:

Ahexágono = 6 · AΔ

Ahexágono = 6 · l2 · √3
                         4

Ahexágono = 3 · l2 · √3
                         2

Ahexágono = 3 · l2·√3
                          2

Leia também: Área do triângulo equilátero

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem) Uma piscina tem o formato de um polígono regular cuja medida do ângulo interno é três vezes e meia a medida do ângulo externo. Qual é a soma dos ângulos internos do polígono cuja forma é igual à dessa piscina?

a) 1800°

b) 1620°

c) 1440°

d) 1260°

e) 1080°

Solução

Como não sabemos a quantidade de lados do polígono, vamos imaginar só um dos vértices desse polígono.

Da imagem podemos ver que:

ai + ae = 180° (I)

Do enunciado temos que:

ai = 3,5 · ae (II)
 

Substituindo a equação (II) na equação (I), teremos que:

3,5 · ae + ae = 180°

4,5 · ae = 180°

ae = 180°
       4,5

ae = 40°

No entanto sabemos que um ângulo interno é a divisão de 360° pelo número de lados do polígono. Assim:

ae = 360°
      n

40° = 360°
        n

40n = 360°

n = 360°
      40°

n = 9

Logo, a soma dos ângulos internos da piscina é:

Si = (n - 2) · 180°

Si = (9 - 2) · 180°

Si = 7 · 180°

Si = 1260° 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática