A semelhança de triângulos consiste, de modo geral, na proporção entre dois ou mais triângulos, ou seja, são proporcionais se, e somente se, todos os seus lados e ângulos internos forem proporcionais ao outro triângulo. Convenhamos que verificar todos esses elementos um a um gera um pouco de trabalho. A fim de facilitar o processo, vamos estudar os casos de semelhança nos quais é necessário verificar somente três desses elementos. Show Leia também: Propriedades do triângulo equilátero Triângulos semelhantesDados dois triângulos ABC e A’B’C’, vamos dizer que eles são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes são congruentes na mesma ordem, ou seja, se os ângulos são iguais e se os lados correspondentes são ordenadamente proporcionais. Veja: Ângulos correspondentes congruentes: A = A' B = A' C = A' Lados correspondentes proporcionais: A'B' = B'C' = A'C' = k O número k nas razões entre os lados é chamado de constante de proporcionalidade, e as razões são chamadas de razões de proporcionalidade. Exemplo Vamos verificar se os triângulos a seguir são proporcionais. Observe que a correspondência entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho é dada por: A = 65° = B’ B = 45° = A’ C = 70° = C’ Veja também que o lado A’B’ está para o lado AB, que o lado B’C’ está para o lado AC e que o lado A’C’ está para o lado BC, ou seja: Note que, nessa ordem, podemos encontrar uma proporção entre os lados em que a constante de proporcionalidade é igual a 1/3, ou seja, para construir o triângulo A’B’C’, basta multiplicar cada lado do triângulo ABC por 1/3. Assim, temos que os triângulos são semelhantes na seguinte ordem: ABC ~ B’A’C’ Veja também: Condição de existência de um triângulo Teorema fundamental da semelhança de triângulosConsidere inicialmente um triângulo DEF e considere uma reta paralela GH ao lado.
No triângulo acima, vamos ter a seguinte semelhança: DFE ~ GFH Exemplo No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo ao lado BC. Sabe-se também que AB = 8 cm, AC = 10 cm e AD = 2 cm. Determine o comprimento dos segmentos AE e EC. Como o segmento DE é paralelo ao lado BC do triângulo ABC, pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo seus lados, de modo ordenado, são proporcionais, então: Veja também que o lado AC é dado pela soma AE + EC. Substituindo os valores de cada lado, temos: AC = AE + EC 10 = 2,5 + EC 10 – 2,5 = EC EC = 7,5 cm Portanto, AE = 2,5 cm e EC = 7,5 cm. Saiba também: Relações no triângulo retângulo Casos de semelhança de triângulosVimos que, para verificar se dois triângulos são, de fato, semelhantes ,é necessário que todos os ângulos correspondentes sejam iguais e que os lados correspondentes sejam proporcionais, entretanto não é necessário verificar as seis condições. Veremos a seguir casos de semelhança que facilitam tal verificação. Vamos dizer que dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro triângulo. Se dois ângulos são congruentes, os triângulos são semelhantes e a volta também é verdadeira, isto é, caso dois triângulos sejam semelhantes, então podemos afirmar que dois ângulos correspondentes são iguais. Dizemos que dois triângulos são semelhantes se dois lados são proporcionais e os ângulos entre esses lados são congruentes, isto é, iguais. A condição para que esses dois triângulos sejam semelhantes é que a razão entre AB e A’B’ seja igual à razão entre os lados AC e A’C’, ou seja, que os lados sejam proporcionais. Além disso, o ângulo compreendido entre esses lados deve ser igual: Â = Â. Nesse caso, também vale a volta da afirmação, ou seja, se dois triângulos são semelhantes, então podemos afirmar que dois de seus lados são proporcionais e que os ângulos entre esses lados são iguais. Dois triângulos são ditos semelhantes se os três lados do primeiro triângulo são ordenadamente proporcionais aos lados do segundo triângulo. Nesse caso, para que os triângulos sejam semelhantes, os lados correspondentes devem ser iguais. Exemplo Considere os triângulos a seguir. Sabendo que eles são semelhantes, determine os valores de a, b e c. O perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm. Por hipótese, os triângulos são semelhantes. Podemos dizer ainda que a semelhança é pelo caso LLL, ou seja, ABC ~ A’B’C’, portanto: Como o perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm, temos que: a + b + c = 84 7k + 9k + 5k = 84 21k = 84 k =4 Substituindo os valores de k nas igualdades, temos: a = 7 · (4) → a = 28 cm b = 9 · (4) → b = 36 cm c = 5 · (4) → c = 20 cm Exercícios resolvidosQuestão 1 – (PUC-Campinas) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo os ângulos D e C congruentes. Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é: a) 32,6 b) 36,4 c) 40,8 d) 42,6 e) 44,4 Solução Alternativa e. Os triângulos ABC e AED são semelhantes, logo seus lados, nessa ordem, formam uma proporção. Das propriedades de proporção, temos: Multiplicando cruzado as duas primeiras frações, temos: 20 · DE = 10 · 16 20 · DE = 160 DE = 8 cm Agora, multiplicando cruzado a primeira fração com a terceira, temos: 20 · 10,4 = 10 · (10 + BD) 208 = 100 + 10 · BD 10 ·BD = 208 – 100 10 · BD = 108 BD = 10,8 cm Note que o lado AC é dado por AE + CE. Substituindo os valores conhecidos, temos: AC = AE + CE 20 = 10,4 + CE CE = 20 – 10,4 CE = 9,6 cm E portanto o perímetro do quadrilátero BCED é: BC + CE + DE + DB 16 + 9,6 + 8 + 10,8 44,4 cm Figuras semelhantes são aquelas que possuem ângulos correspondentes semelhantes e lados correspondentes proporcionais. Essa proporção entre os lados e a semelhança entre as figuras garantem também a existência de uma propriedade envolvendo suas áreas. Para compreender melhor essa propriedade, é necessário relembrar o conceito de razão de semelhança. Razão de semelhança A razão de semelhança é o resultado da divisão entre as medidas de um lado da primeira figura e o lado correspondente a ele da segunda figura. Isso só vale para figuras que são semelhantes. Os hexágonos regulares, representados a seguir, são exemplos de figuras semelhantes:
Áreas de figuras semelhantes Suponha que as áreas de duas figuras sejam representadas por A1 e A2 e que essas figuras sejam semelhantes. Suponha também que L é a razão de semelhança entre as duas figuras, ou seja, L é o resultado da divisão entre dois lados correspondentes dessas duas figuras. Nessa hipótese, a razão entre a área das figuras será igual ao quadrado da razão de semelhança, o que pode ser representado matematicamente da seguinte forma: L2 = A1 Toda vez que dividimos as medidas de dois lados correspondentes de dois polígonos semelhantes o resultado é a razão de semelhança L. Se dividirmos as áreas desses mesmos polígonos, o resultado será L2.
Solução: Quando a razão de semelhança é maior que um, significa que a maior medida foi dividida pela menor medida. Assim, podemos substituir os valores dados da área de uma das figuras e da razão de semelhança na fórmula abaixo: L2 = A1 22 = A1 4·22 = A1 Lembre-se que 4 cm2 é o denominador porque a razão de proporcionalidade é maior que um. Caso contrário, seria numerador. 2º Exemplo – Qual a razão de semelhança entre dois polígonos cujas áreas são, respectivamente, iguais a 16 cm2 e 100 cm2? Solução: Geralmente, as razões de semelhança são números menores que um, portanto, a fração que origina essa razão deve ser estruturada com o menor número no numerador. Isso não é uma regra, é apenas o mais usual nesse conteúdo. Uma segunda observação importante é a seguinte: não se esqueça de que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, portanto: L2 = A1 L2 = 16 L = √16 L = 4 L = 0,4 |
Sabendo que as figuras abaixo são semelhantes, determine o lado correspondente ao lado cb
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