Você já ouviu falar em números quadrados perfeitos? Os quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de qualquer número por ele mesmo. Por exemplo, o 9 é um quadrado perfeito, pois ele é o resultado de 3 x 3 ou, melhor ainda, porque ele é o resultado da potência 32 (lê-se três elevado a dois ou três ao quadrado). Show Nós temos uma forma mais usual de representar um número que é tido como quadrado perfeito. Para representá-lo, nós utilizamos a raiz quadrada. Por exemplo, se procuramos a “raiz quadrada de 4”, pretendemos descobrir qual é o número que, ao quadrado (o número multiplicado por si mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos dizer que o número que procuramos é o 2, pois 22 = 4. Por essa razão, dizemos que a radiciação é a operação inversa à potenciação. Vejamos como representar uma raiz quadrada:
O radical (símbolo em vermelho) indica que se trata de uma radiciação, e o índice caracteriza a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos trabalhando. Em geral, o radicando é o número sobre o qual somos questionados, e a raiz é o resultado. Nesse exemplo, estamos procurando a raiz quadrada de 4, isto é, queremos saber qual é o número que multiplicado por ele mesmo resulta em quatro. Facilmente podemos concluir que esse número é o 2, pois 22 = 4. Mas e se por acaso quisermos saber qual é o número que multiplicado por si mesmo 3 vezes resulta em 8? Precisamos então procurar o número que, ao cubo, resulta em 8, isto é: ? 3 = 8 ? x ? x ? = 8 Esse exemplo já exige um pouco mais de raciocínio. Mas podemos afirmar que o número que ocupa o lugar dos quadradinhos é o 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Veja que acabamos de trabalhar com uma raiz cúbica, pois o índice da raiz é três. Sua representação é: 3√8 = 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8 Mas haveria uma forma mais fácil de realizar a radiciação? Sim, há! Através da fatoração, conseguimos encontrar qualquer raiz exata, independentemente do índice. Vejamos alguns exemplos: 1. √64 Precisamos encontrar a raiz quadrada de 64. Atenção: sempre que não aparece um número no índice, trata-se de uma raiz quadrada, cujo índice é 2. Vamos fatorar o radicando 64, isto é, vamos dividi-lo sucessivas vezes pelo menor número primo possível até que cheguemos ao quociente 1: 64 | 2 Do lado direito, apareceram seis números 2. Ao multiplicá-lo (2x2x2x2x2x2), encontramos o número 64. Então, em vez de escrevermos o 64, podemos colocar essa multiplicação dentro da raiz: √64 √2x2x2x2x2x2 Como estamos trabalhando como uma raiz quadrada, nós agruparemos os números dentro da raiz de dois em dois, elevando-os ao quadrado: √22x22x22 Feito isso, aqueles números que possuem o expoente dois podem sair da raiz. Eles saem sem o seu expoente, mas continuam com o símbolo da multiplicação, portanto: √64 – 2x2x2 – 8 Portanto, a raiz quadrada de 64 é 8. 2. 3√729 Agora estamos trabalhando com uma raiz cúbica, ou uma raiz de índice três. Devemos procurar um número que, multiplicado por si mesmo três vezes, chega ao valor do radicando. Vamos novamente fatorar nosso radicando, dividindo-o sempre pelo menor número primo possível: 729 | 3 Como estamos lidando com uma raiz de índice 3, nós vamos agrupar os números iguais que apareceram à direita em trios, com expoente 3. Novamente aqueles números que possuem expoente que coincide com o índice do radicando poderão sair da raiz. Vejamos: 3√729 3√3x3x3x3x3x3 3√33x33 3√729 = 3x3 = 9 Portanto, a raiz cúbica de 729 é 9. 3) 4√3125 Nesse exemplo, temos uma raiz quarta. Logo, ao fatorarmos o radicando, deveremos agrupar os números da direita de quatro em quatro. Vejamos: 3125 | 5 À direita, apareceram cinco números cinco. Logo, podemos observar que, ao juntarmos grupos de 4, alguém ficará sozinho. Ainda assim, realizaremos esse processo: 4√3125 4√5x5x5x5x5 4√54x5 4√3125 = 54√5 Infelizmente, não conseguimos concluir essa radiciação, dizemos então que ela não é exata. A fatoração do radicando é um procedimento que nos permite efetuar a radiciação independentemente do índice do radical e até mesmo se a radiciação não possuir raiz exata, como ocorreu no último exemplo. Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto: Esta página cita fontes, mas estas não cobrem todo o conteúdo.Janeiro de 2011) Em matemática, a raiz quadrada de
x
{\displaystyle x}
é um número positivo
y
{\displaystyle y}
que, multiplicado por si próprio, iguala-se a
x
{\displaystyle x}
.[1] Todo número real não negativo possui uma única raiz quadrada não negativa, chamada de raiz quadrada principal, a qual é denotada pelo símbolo
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
. Por exemplo, 3 é a raiz quadrada de 9, ou seja,
9
=
3
{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}
, pois
3
×
3
=
3
2
=
9
{\displaystyle 3\times 3=3^{2}=9}
.
Embora ( − 3 ) 2 = 9 {\displaystyle (-3)^{2}=9} , este valor não deve ser considerado como raiz porque o seu símbolo não significa "raiz quadrada", mas sim a raiz quadrada não negativa. Esta é a razão de ser obrigatório o sinal de ± {\displaystyle \pm } na frente do símbolo {\displaystyle {\sqrt {}}} da Fórmula de Bháskara, utilizada na resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos. O primeiro uso do atual símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (do latim, raiz). Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de reta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raiz quadrada do inicial.[2] As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:
A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; x {\displaystyle {\sqrt {x}}} é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois). Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado. Admita-se que x e a são reais, e que x 2 = a {\displaystyle x^{2}=a} , e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} . Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x2 não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} ou, de outra forma, que x = ± a {\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}} Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade: x − y = x − y x + y {\displaystyle {\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}} O mesmo é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero. A função f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} tem o seguinte gráfico: A função, cujo domínio é o conjunto dos números reais não negativos é contínua, monótona e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive da tangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por f ′ ( x ) = 1 2 x {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial: x + 1 = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 2 ) ! n ! ( n − 1 ) ! 2 2 n − 1 x n = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + … {\displaystyle {\sqrt {x+1}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!(n-1)!2^{2n-1}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots } para | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} . As dificuldades de computar raízes quadradas usando-se números romanos e a notação romana para frações levou Vitrúvio a a declarar que extrair a raiz quadrada de 200 não pode ser feito por números [3]. CalculadorasAs calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas, tais como o método de Newton (frequentemente com uma estimativa inicial igual a 1), para computar a raiz quadrada de um número real positivo.[4][5] Ao computar raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo, pode-se explorar a identidade a = e ( ln a ) / 2 {\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}} Calculando a raiz quadrada manualmente: Por exemplo, calcularemos a raiz quadrada de 2. √2|1,41... -1 |2 4|28 1 100| 4| 1 -96 | 400 -281 Seguindo estes passos irás conseguir sem um professor:
Método babilônicoUm algoritmo frequentemente usado para aproximar n {\displaystyle {\sqrt {n}}} é conhecido como "método babilônico" (porque, especula-se, este era o método usado na Matemática Babilônica para calcular a raiz quadrada,[6] e é o mesmo obtido ao aplicar-se o Método de Newton à equação x 2 − n = 0 {\displaystyle x^{2}-n=0} Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:
Este algoritmo é quadraticamente convergente, que significa que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição. Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam de muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas). Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão: Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.
Esse seria aproximadamente a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora teremos: 8,12403840463596... Ou seja, esse é um bom método para se achar aproximadamente uma raiz quadrada. Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longaEste método, apesar de muito mais lento que o método Babilônico, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raiz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito. Escreva o número em decimal e divida-o em pares de dígitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raiz quadrada final aparecerá acima do número original. Para cada iteração: Traga para baixo o par o mais significativo dos dígitos ainda não usados e adicione-os a todo o restante. Este é o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que não faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dígito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e não houver mais dígito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se não continue com etapa 1. Exemplo: Que é a raiz quadrada de 152,2756? ____1__2._3__4_ | 01 52.27 56 1 x 01 1*1=1 1 ____ __ 00 52 22 2x 00 44 22*2=44 2 _______ ___ 08 27 243 24x 07 29 243*3=729 3 _______ ____ 98 56 2464 246x 98 56 2464*4=9856 4 _______ 00 00 O algoritmo termina: a resposta é 12,34Embora demonstrado aqui para números da base 10, o procedimento trabalha para algumas bases, incluindo a base 2. Na descrição acima, 20 meios dobram a base de número usada, no exemplo de binário isto seriam realmente 100. que o algoritmo está no fato muito mais fácil de executar na base 2, como em cada etapa somente os dois dígitos 0 e 1 têm que ser testados. Equação de PellA equação de Pell permite encontrar a parte inteira de uma raiz quadrada simplesmente subtraindo inteiros ímpares. Por exemplo, para calcular a parte inteira da raiz quadrada de 19, calcula-se a sequência: 1. 19 – 1 = 18 2. 18 – 3 = 15 3. 15 – 5 = 10 4. 10 – 7 = 3Como 3 é menor que 9, a sequência para aqui. Como 4 subtrações foram efetuadas, então a resposta é 4 Ou seja, para calcular a parte inteira da raiz quadrada n de um número inteiro positivo m, pode ser usado o seguinte trecho de programa: n = 0 i = 1 while (m >= i){ m = m – i; i = i + 2; n = n + 1; }Observe-se que se n é a raiz exata, o valor final de m é zero. Encontrando raízes quadradas usando aritmética mentalA Equação de Pell é um método para obter a raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares. Ex: Para obter 27 {\displaystyle {\sqrt {27}}} nós começamos com a seguinte sequência:
5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5. Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1 2 × 100 = 200 {\displaystyle 2\times 100=200} e 5 × 20 + 1 = 101 {\displaystyle 5\times 20+1=101}
O próximo número é 1. Em seguida efetua-se: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1 99 × 100 = 9900 {\displaystyle 99\times 100=9900} e 51 × 20 + 1 = 1021 {\displaystyle 51\times 20+1=1021}
O próximo número é 9. O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27. Método das Frações ContinuadasIrracionais Quadráticos, que são os números envolvendo raízes quadradas na forma (a+√b)/c, são compostos por períodos de frações continuadas. Isto faz com que elas sejam fáceis de serem calculadas recursivamente, dado o período. Por exemplo, para calcular √2, nós temos que usar o fato de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], e usar a relação recursiva: an+1=1/(2+an) com a0=0 para obter √2-1 dada uma precisão especificada por n níveis de recursividade, e adicionar 1 ao resultado para obter √2. Para todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = r exp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raiz quadrada é holomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). A série de Taylor acima para √(1+x) continua válida para números complexos x com |x| < 1. Quando o número complexo está na forma retangular, a seguinte fórmula pode ser usada: x + i y = | x + i y | + x 2 ± i | x + i y | − x 2 {\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}} onde o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original. Perceba que, por causa da natureza descontínua da função raiz quadrada no plano complexo, a regra z w = z w {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}} é em geral falsa. Se for tomada erroneamente como verdadeira, esta regra pode levar a numerosas "provas" erradas, como por exemplo a seguinte prova real que mostra que -1 = 1: − 1 = i 2 = ( − 1 ) 2 = − 1 × − 1 = 1 = 1 {\displaystyle -1=i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {-1\times -1}}={\sqrt {1}}=1} A terceira igualdade não pode ser justificada. Porém, a regra pode estar errada apenas até um fator -1, z w = ± z w , {\displaystyle {\sqrt {zw}}=\pm {\sqrt {z}}{\sqrt {w}},} é verdadeiro para ambos ± tanto + como - (mas não ambos ao mesmo tempo). Perceba que c 2 = ± c , {\displaystyle {\sqrt {c^{2}}}=\pm c,} portanto a 2 b 2 = ± a b {\displaystyle {\sqrt {a^{2}b^{2}}}=\pm ab} e finalmente z w = ± z w , {\displaystyle {\sqrt {zw}}=\pm {\sqrt {z}}{\sqrt {w}},} com o uso de = a = z {\displaystyle a={\sqrt {z}}} e b = w . {\displaystyle b={\sqrt {w}}.} Se A é uma matriz positiva definida (ou um operador positivo definido), então existe exatamente uma matriz positiva definida (idem para operador) B tal que B² = A; definimos A = B {\displaystyle {\sqrt {A}}=B} Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória.
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