A função exponencial é uma função em que um número constante maior que 0 (zero) e diferente de 1 (um), é elevado ao expoente que é uma variável. Show A função exponencial não pode ter na base o valor 1 (um), pois assim ela não seria exponencial, e sim, constante. Além disso, a base não pode ser negativa e nem zero, pois não é possível, nestes casos, definir a função. É uma função que cresce muito rápido, por esse motivo é que, frequentemente, usamos a expressão: “cresceu exponencialmente”. Assim, é muito difícil calcular funções desses tipos, então precisamos do auxílio de calculadoras. O valor do expoente equivale a quantas vezes a base é multiplicada. Exemplo:
As funções exponenciais usam a mesma ideia, porém a base é fixa e o expoente é variável. Exemplo: Seja a função f(x) = 2x, calcule f(2), f(5) e f(10):
Quanto mais o expoente aumenta, mais difícil o cálculo. DefiniçãoA função exponencial é a função f : R → R*+, definida como f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1. Ou seja, a função possui domínio em R e imagem em R*+ que o conjunto dos números reais positivos e sem o zero. Gráfico da Função ExponencialPodemos entender o gráfico de uma função do tipo exponencial aplicando valores ao expoente dela. Lembrando que as funções exponenciais podem ser classificadas em crescente e decrescente. Para cada um desse tipo de função, o comportamento do gráfico muda. Vamos analisar com um exemplo a seguir. Gráfico CrescenteSeja a função f(x) = 2x, esboce o gráfico para a função. Resolução: Para entender melhor, vamos construir uma tabela com os valores que vamos atribuir a variável x da função.
A função f(x) = 2x tem base maior que 1 (um), é uma função crescente e contínua em R. Então, temos o seguinte gráfico: Gráfico DecrescenteSeja a função f(x) = (1⁄2)x, esboce o gráfico para a função. Resolução: Vamos atribuir valores a variável x e ver o comportamento que a função terá. Veja na seguinte tabela os valores:
Com esses valores em mãos vamos esboçar o gráfico para a função acima: A função f(x) = (1⁄2)x tem base a com 0 < a < 1 e, portanto, é uma função estritamente decrescente e contínua em R. Resumindo, podemos afirmar que a função exponencial é:
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A função exponencial ocorre quando, em sua lei de formação, a variável está no expoente, com domínio e contradomínio nos números reais. O domínio da função exponencial são os números reais, e o contradomínio são os números reais positivos diferentes de zero. A sua lei de formação pode ser descrita por f(x) =ax, em que a é um número real positivo diferente de 1. O gráfico de uma função exponencial sempre estará no primeiro e segundo quadrantes do plano cartesiano, podendo ser crescente, quando a for um número maior do que 1, ou decrescente, quando a for um número positivo menor do que 1. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica, o que torna os gráficos dessas funções sempre simétricos. Leia também: O que é função? Curva de uma função exponencialO que é função exponencial?Como o nome sugere, o termo exponencial está ligado a expoente. Então, a definição de função exponencial é uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais, e o contradomínio é o conjunto dos números reais positivos não nulos, descrito por : ℝ → ℝ*+. A sua lei de formação é descrita pela equação f(x) = ax, em que a é um número real qualquer, positivo, não nulo e que recebe o nome de base. Exemplos: Na lei de formação, f(x) pode ser descrito também como y e, assim como nas demais funções, ele é conhecido como variável dependente, porque seu valor depende de x, que é conhecido como variável independente. As funções exponencias podem ser classificadas em dois casos distintos. Levando em consideração o comportamento da função, ela pode ser crescente ou decrescente. Uma função exponencial é dita crescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) também aumenta. Isso ocorre quando a base é maior que 1, ou seja: a > 1. Exemplo: Gráfico de uma função exponencial crescenteUma função exponencial é considerada decrescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui. Isso ocorre quando a base é um número entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1. Exemplo: Gráfico de uma função exponencial decrescenteLeia também: Diferenças entre função e equação Gráfico da função exponencialPara desenharmos a representação gráfica de uma função exponencial, é necessário encontrar a imagem para alguns valores do domínio. O gráfico de uma função exponencial tem como característica um crescimento bem maior que o das funções lineares, se for crescente, ou um decrescimento maior, quando decrescente. Exemplos: a) Construa o gráfico da função: f(x) = 2x. Como a >1, então essa função é crescente. Para a construção do gráfico, vamos atribuir alguns valores para x conforme a tabela a seguir: Agora que conhecemos alguns pontos da função, é possível marcá-los no plano cartesiano e traçar a curva da função exponencial. b) Construa o gráfico da função a seguir: Nesse caso, a função é decrescente, já que a base é um número entre 0 e 1, então o gráfico será decrescente. Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função: Propriedades da função exponencial→ 1ª propriedadeEm uma função exponencial qualquer, independentemente do valor de sua base a, temos que f(0) = 1. Afinal, sabemos que essa é uma propriedade de potência, ou seja, todo número elevado a 0 é 1. Isso significa que o gráfico vai interceptar o eixo vertical no ponto (0,1) sempre. → 2ª propriedadeA função exponencial é injetora. Dados x1 e x2 tal que x1 ≠ x2, então as imagens também serão diferentes, ou seja, f(x1) ≠ f(x2), o que significa que, para cada valor da imagem, existe um único valor no domínio que corresponde a essa imagem. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y. → 3ª propriedadeÉ possível saber o comportamento da função de acordo com o valor da sua base. O gráfico será crescente se a base for maior que 1 (a > 1) e decrescente se a base for menor que 1 e menor que 0 (0 < a < 1). → 4ª propriedadeO gráfico da função exponencial está sempre no 1º e 2º quadrantes, pois o contradomínio da função são os reais positivos diferentes de zero. Leia também: Como construir o gráfico de uma função? Função exponencial e função logarítmicaComo a função exponencial é uma função que admite inversa, essa comparação entre função exponencial e função logarítmica é inevitável. Acontece que a função logarítmica é a função inversa da exponencial. Os gráficos dessas funções são simétricos em relação à bissetriz do eixo x. Ser uma função inversa significa que a função logarítmica faz o contrário do que a função exponencial faz, ou seja, na função exponencial, se f(x) = y, então a função logarítmica, por ser inversa, será denotada por f-1 o f-1 (y) = x. O gráfico da função exponencial é simétrico ao gráfico da função logarítmica.Exercícios resolvidos(Enem 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800·(1,03)t. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais, a) 7.416,00 b) 3.819,24 c) 3.709,62 d) 3.708,00 e) 1909,62 Resolução: Queremos calcular a imagem da função quando t = 2, ou seja, s(2). Substituindo t = 2 na fórmula, encontraremos que: s(2) = 1800 · (1,03)² s(2) = 1800 · 1,0609 s(2) = 1909,62 Alternativa E 2) (Enem 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1? a) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000 b)P(t) = 50 · t -1 + 8000 c)P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000 d)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1 e)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1 Resolução: Note que existe uma relação entre o ano t e a quantidade de determinado produto P. Sabendo que há um aumento de 50% para cada ano, isso significa que, ao comparar a produção de um ano anterior ao posterior, o valor do segundo corresponde a 150%, que é representado por 1,5. Sabendo que a produção inicial é 8 000 e que, no primeiro ano, essa foi a produção, podemos descrever essa situação por:
Alternativa E Por Raul Rodrigues de Oliveira |