O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.
Saiba também: 4 erros mais cometidos na trigonometria básica
Fórmula do teorema de Pitágoras
Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.
Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.
O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:
Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Demonstração do teorema de Pitágoras
Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura:
O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD.
AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2
O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH.
AEFGH = a2
Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes:
O terceiro passo é calcular a área desses triângulos:
ATriângulo = b·c
2
O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então:
AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo
Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter:
a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc
2
a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc
a2 = b2 + c2
Mapa Mental: Teorema de Pitágoras
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Triângulo pitagórico
Um triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras.
Exemplos:
O triângulo acima é pitagórico, pois:
52 = 32 + 42
Já o triângulo a seguir não é pitagórico. Veja
262 ≠ 242 +72
Leia também: Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno
Teorema de Pitágoras e os números irracionais
O teorema de Pitágoras trouxe consigo uma nova descoberta. Ao construir um triângulo retângulo em que os catetos são iguais a 1, os matemáticos, na época, depararam-se com um grande desafio, pois, ao encontrar o valor da hipotenusa, um número desconhecido apareceu. Veja:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:
O número encontrado pelos matemáticos da época hoje é chamado de irracional.
Leia também: Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo
Exercícios resolvidos
Questão 1. Determine o valor de x no triângulo a seguir.
Resolução:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos o seguinte:
132 = 122 + x2
Resolvendo as potências e isolando a incógnita x, temos:
x2 = 25
x =5
Questão 2. Determine a medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm.
Resolução:
Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que:
202 = c2 + c2
2c2 = 400
c2 = 200
Assim, as medidas dos catetos do triângulo medem, respectivamente:
*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
- Alves
- há 5 anos
- Matemática
- 414
Em um triangulo retângulo isósceles, cada cateto mede 30 cm. determine a medida da hipotenusa desse triangulo.
- 1. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Professor Luan de Souza Bezerra Ensino Médio Seduc em Ação/TBC 2ª Série 2022
- 2. HABILIDADE BNCC (EM13MA308) Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos em vários contextos. 2022
- 3. OBJETO DE CONHECIMENTO Teorema de Pitágoras Resolver problema que envolva Teorema de Pitágoras. (GO-EMMAT308A) Relacionar, por semelhança de triângulos ou pelo Teorema de Pitágoras, as medidas dos lados e segmentos do triângulo retângulo, identificando todas as medidas apresentadas no problema para compreender a origem e os processos que acarretam as relações métricas no triângulo retângulo. 2022 OBJETIVO DE APRENDIZAGEM DO DC-GOEM HABILIDADES DO SAEB/SAEGO
- 4. Triângulo Retângulo O triângulo retângulo é formado por catetos e hipotenusa. Os catetos são os lados do triângulo que formam o ângulo reto e são classificados em cateto adjacente e cateto oposto. Hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, sendo considerado o maior lado do triângulo retângulo. 2022
- 5. Cateto Oposto e Adjacente Quando aprofundamos nossos estudos acerca do triângulo retângulo, os catetos passam a ser identificáveis por meio de um ângulo referencial. 2022
- 6. Teorema de Pitágoras Estabelece a relação entre os lados do triângulo retângulo, a relação determina o seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. 2022
- 7. Teorema de Pitágoras “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. 2022 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2
- 8. Triângulo Pitagórico Quando nos deparamos com triângulos retângulos cujas medidas dos catetos e da hipotenusa são números inteiros positivos, podemos chamá-los de triângulos pitagóricos. E seus catetos e hipotenusa formam uma terna pitagórica ou trio pitagórico. Um exemplo de números que formam esse trio pitagórico é 3, 4 e 5. Sendo 3 e 4 catetos e 5 a hipotenusa. Outros exemplos são 5, 12 e 13; 7, 24 e 25; 12, 35 e 37. 2022
- 9. Exemplo Observe o triângulo retângulo, a seguir, e determine qual o valor de x no triângulo apresentado? 2022
- 10. Exemplo Observe o triângulo retângulo, a seguir, e determine qual o valor de x no triângulo apresentado? 2022 Catetos: x cm e 12 cm Hipotenusa: 13 cm 𝑥2 + 122 = 132 𝑥2 + 144 = 169 𝑥2 = 169 − 144 𝑥2 = 25 𝑥 = 25 𝑥 = 5
- 11. Exemplo Determine a medida x dos catetos de um triângulos retângulo isósceles no qual a hipotenusa mede 30 cm. 2022
- 12. Exemplo Determine a medida x dos catetos de um triângulos retângulo isósceles no qual a hipotenusa mede 30 cm. 2022 𝑥2 + 𝑥2 = 302 2𝑥2 = 900 𝑥2 = 450 𝑥 = 2 ∙ 32 ∙ 52 𝑥 = 15 2 Catetos: x cm e x cm Hipotenusa: 30 cm
- 13. Exemplo Em um triângulo retângulo sua hipotenusa mede 20 cm, e seus catetos medem 16 cm e x cm respectivamente. Qual o valor de x nesse triângulo retângulo? 2022
- 14. Exemplo Em um triângulo retângulo sua hipotenusa mede 20 cm, e seus catetos medem 16 cm e x cm respectivamente. Qual o valor de x nesse triângulo retângulo? 2022 Catetos: x cm e 16 cm Hipotenusa: 20 cm 𝑥2 + 162 = 202 𝑥2 + 256 = 400 𝑥2 = 400 − 256 𝑥2 = 144 𝑥 = 144 𝑥 = 12
- 15. Exemplo Considere o triângulo retângulo a seguir. Determine o valor da hipotenusa. 2022
- 16. Exemplo Considere o triângulo retângulo a seguir. Determine o valor da hipotenusa. 2022 Catetos: 7 cm e 24 cm Hipotenusa: x cm 𝑥2 = 72 + 242 𝑥2 = 49 + 576 𝑥2 = 625 𝑥 = 625 𝑥 = 25 𝑐𝑚
- 17. Exemplo Determine o valor do cateto x no triângulo retângulo a seguir. 2022
- 18. Exemplo Considere o triângulo retângulo a seguir. Determine o valor do cateto x. 2022 Catetos: x cm e 8 cm Hipotenusa: 10 cm 102 = 𝑥2 + 82 100 = 𝑥2 + 64 𝑥2 = 100 − 64 𝑥2 = 36 𝑥 = 36 𝑥 = 6𝑐𝑚
- 19. 2022
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física
A trigonometria no triângulo retângulo é o estudo sobre os triângulos que possuem um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.
Lembre-se que a trigonometria é a ciência responsável pelas relações estabelecidas entre os triângulos. Eles são figuras geométricas planas compostas de três lados e três ângulos internos.
O triângulo chamado equilátero possui os lados com medidas iguais. O isósceles possui dois lados com medidas iguais. Já o escaleno tem os três lados com medidas diferentes.
No tocante aos ângulos dos triângulos, os ângulos internos maiores que 90° são chamados de obtusângulos. Já os ângulos internos menores que 90° são denominados de acutângulos.
Além disso, a soma dos ângulos internos de um triângulo será sempre 180°.
Composição do Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo é formado:
- Catetos: são os lados do triângulo que formam o ângulo reto. São classificados em: cateto adjacente e cateto oposto.
- Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, sendo considerado o maior lado do triângulo retângulo.
Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrado dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado de sua hipotenusa:
h2 = ca2 + co2
Leia também:
- Trigonometria
- Ângulos
- Triângulo Retângulo
- Classificação dos Triângulos
Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo
As razões trigonométricas são as relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo. As principais são o seno, o cosseno e a tangente.
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto oposto sobre o cateto adjacente.
Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas
O círculo trigonométrico é utilizado para auxiliar nas relações trigonométricas. Acima, podemos encontrar as principais razões, sendo que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Além delas, temos as razões inversas: secante, cossecante e cotangente.
Lê-se um sobre o cosseno.
Lê-se um sobre o seno.
Lê-se cosseno sobre o seno.
Leia também:
Ângulos Notáveis
Os chamados ângulos notáveis são aqueles que aparecem com mais frequência, a saber:
Relações Trigonométricas30°45°60°
Seno | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
Cosseno | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
Tangente | √3/3 | 1 | √3 |
Saiba mais:
Exercício Resolvido
Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 8 cm e um dos ângulos internos possui 30°. Qual o valor dos catetos oposto (x) e adjacente (y) desse triângulo?
De acordo com as relações trigonométricas, o seno é representado pela seguinte relação:
Sen = cateto oposto/hipotenusa
Sen 30° = x/8 ½ = x/8 2x = 8 x = 8/2
x = 4
Logo, o cateto oposto desse triângulo retângulo mede 4 cm.
A partir disso, se o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados de seus catetos, temos:
Hipotenusa2 = Cateto oposto2 + Cateto adjacente2
82 = 42+y2 82 - 42 = y2 64 - 16 = y2 y2 = 48
y = √48
Logo, o cateto adjacente desse triângulo retângulo mede √48 cm.
Assim, podemos concluir que os lados desse triângulo medem 8 cm, 4 cm e √48 cm. Já seus ângulos internos são de 30° (acutângulo), 90° (reto) e 60° (acutângulo), visto que a soma dos ângulos internos dos triângulos sempre será 180°.
Exercícios de Vestibular
1. (Vunesp) O cosseno do menor ângulo interno de um triângulo retângulo é √3/2. Se a medida da hipotenusa desse triângulo é 4 unidades, então é verdade que um dos catetos desse triângulo mede, na mesma unidade,
a) 1 b) √3 c) 2 d) 3
e) √3/3
2. (FGV) Na figura a seguir, o segmento BD é perpendicular ao segmento AC.
Se AB = 100m, um valor aproximado para o segmento DC é:
a) 76m. b) 62m. c) 68m. d) 82m.
e) 90m.
3. (FGV) A plateia de um teatro, vista de cima para baixo, ocupa o retângulo ABCD da figura a seguir, e o palco é adjacente ao lado BC. As medidas do retângulo são AB = 15m e BC = 20m.
Um fotógrafo que ficará no canto A da plateia deseja fotografar o palco inteiro e, para isso, deve conhecer o ângulo da figura para escolher a lente de abertura adequada.
O cosseno do ângulo da figura acima é:
a) 0,5 b) 0,6 c) 0,75 d) 0,8
e) 1,33
4. (Unoesc) Um homem de 1,80 m encontra-se a 2,5 m de distância de uma árvore, conforme ilustração a seguir. Sabendo-se que o ângulo α é de 42°, determine a altura dessa árvore.
Use:
Seno 42° = 0,669 Cosseno 42° = 0,743
Tangente de 42° = 0,90
a) 2,50 m. b) 3,47 m. c) 3,65 m.
d) 4,05 m.
5. (Enem-2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:
a) menor que 100m2. b) entre 100 m2 e 300 m2. c) entre 300 m2 e 500 m2. d) entre 500 m2 e 700 m2.
e) maior que 700 m2.
Alternativa e) maior que 700 m2.