Considerando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 quantos números de 2 algarismos diferentes podem ser formados

PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO Monitora Juliana PERMUTAÇÕES SIMPLES Uma permutação de objetos distintos é qualquer agrupamento ordenado desses objetos, de modo que, se denominarmos o número das permutações simples dos n objetos, então: Define-se Exemplo 1 Considerando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados? R: Os números de 2 algarismos têm o algarismo das unidades e o algarismo das dezenas. Pode- se dizer então que existem 2 posições para serem preenchidas, P1 e P2. A posição P1 pode ser preenchida de 5 maneiras diferentes, restando, portanto, 4 dígitos que podem ocupar a posição P2. Então há 5 * 4 = 20 maneiras diferentes das posições P1 e P2 serem ocupadas, isto é, há 20 números de 2 algarismos distintos que podem ser formados com os 5 dígitos. Exemplo 2: Dado o conjunto A= {1, 2, 3, 4, 5} quantos subconjuntos de 2 algarismos A possui? R: Vamos listar estes subconjuntos: A1 = {1, 2} A4 = {1, 5} A7 = {2, 5} A10 = {4, 5} A2 = {1, 3} A5 = {2, 3} A8 = {3, 4} A3 = {1, 4} A6 = {2, 4} A9 = {3, 5} São ao todo 10 subconjuntos de 2 elementos que podem ser formados com os 5 elementos de A. No exemplo anterior havia 20 números de 2 algarismos diferentes e aqui se obteve 10 subconjuntos de 2 elementos. A explicação para a diferença de resultados – exatamente a metade – está no fato de que, por exemplo, os números 12 e 21 são diferentes, enquanto que os subconjuntos {1, 2} e {2, 1} são iguais. Exemplo 3: De quantas maneiras diferentes as letras a, a, a, a, b, b, b, c, c, d podem ser distribuídas entre duas pessoas? R: A primeira pessoa pode receber nenhuma, uma, duas, três ou quatro a's. Portanto há 5 maneiras diferentes de se distribuir os a's. De maneira semelhante, há 4 maneiras de se distribuir os b's; 3 maneiras de se distribuir os c's e 2 maneiras de se distribuir o d. Portanto há maneiras de distribuirmos estas letras entre as duas pessoas. ARRANJOS SIMPLES Arranjos simples de n elementos tomados a , onde e é um número natural tal que , são todos os grupos de elementos distintos, que diferem entre si pela ordem e pela natureza dos elementos que compõem cada grupo. Notação: . Vamos tentar encontrar uma expressão matemática que caracterize , usando o princípio multiplicativo. Temos n elementos dos quais queremos tomar p. Este é um problema equivalente a termos n objetos com os quais queremos preencher p lugares. __ __ __ … __ O primeiro lugar pode ser preenchido d em maneiras diferentes. Tendo preenchido , restam objetos e portanto, o segundo lugar pode ser preenchido de maneiras diferentes. Após o preenchimento de há maneiras de se preencher L3 e assim sucessivamente vamos preenchendo as posições de forma que terá maneiras diferentes de ser preenchido. Pelo princípio multiplicativo podemos dizer que as p posições podem ser preenchidas sucessivamente de maneiras diferentes. Sabe-se que uma igualdade não se altera se a multiplicarmos e dividirmos por um mesmo valor, então: podendo assim ser simplificada para Exemplo 1: Quantos anagramas de 2 letras diferentes podemos formar com um alfabeto de 23 letras? R: Exemplo 2: Considerando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, quantos números de 2 algarismos diferentes podem ser formados? R: Exemplo 3: Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Quantos números distintos, superiores a 100 e inferiores a 1000, podemos formar se: a) O número é par? R: Se o número é par, a posição pode ser preenchida ou com o algarismo 2 ou com o 4. Há, portanto, 2 maneiras diferentes desse preenchimento ser feito. Tomemos, por exemplo, o 4: ___ ___ _4_ Para o preenchimento das posições e temos à disposição os algarismos 1, 2, 3, 5. Esse preenchimento pode se dar de Consequentemente, existem 2* maneiras diferentes de preencher as 3 posições, isto é, há 2* números pares superiores a 100 e inferiores a 1000, formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. b) O número é ímpar? R: Se o número é ímpar, a posição pode ser preenchida ou com algarismo1, ou com algarismo 3, ou com algarismo 5. Há, portanto, 3 maneiras diferentes desse preenchimento ser feito. Tomemos, por exemplo, o 1: ___ ___ _1_ Para o preenchimento das posições e temos à disposição os algarismos 2, 3, 4, 5. Esse preenchimento pode se dar de Consequentemente, é o número de maneiras diferentes de preencher as 3 posições, isto é, há números ímpares superiores a 100 e inferiores a 1000, formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. c) O número é par ou ímpar? R: Se os números podem ser pares ou ímpares, podemos resolver o problema de duas maneiras diferentes. Já que temos a quantidade de números pares e a quantidade de números ímpares, calculados em (a) e em (b), podemos somar os dois resultados. Portanto pelo princípio multiplicativo há maneiras diferentes de se preencher sucessivamente as 3 posições, isto é, há números superiores a 100 e inferiores a 1000 formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. COMBINAÇÕES Combinações simples de n elementos tomados p a p, onde e é um número natural tal que , são todas as escolhas não ordenadas de desses n elementos. Notação: Vimos que o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p é igual ao número de maneiras de preencher p lugares com n elementos disponíveis. Obtivemos: Como sendo o número de agrupamentos que diferem entre si pela natureza e pela ordem de colocação dos elementos no agrupamento, isto é, importa quem participa e o lugar que ocupa. Entretanto, quando consideramos combinações simples de n elementos tomados p a p, temos agrupamentos de p elementos, tomados dentre os n elementos disponíveis, que diferem entre si apenas pela natureza dos elementos, isto é, importa somente quem participa do grupo. De uma maneira geral Exemplo 1 Quantos são os anagramas formados por 2 vogais e3 consoantes escolhidas dentre 18 consoantes e 5 vogais? R: A escolha das vogais pode ser dar de maneiras diferentes. A escolha das consoantes pode se dar de maneiras diferentes. Portanto o número de anagramas com 2 vogais e 3 consoantes é dado por: Exemplo 2 Quantos anagramas da palavra UNIFORMES começam por consoante e terminam em vogal? R: A palavra UNIFORMES possui 4 vogas e 5 consoantes. Devemos escolher 1 consoante para começar a palavra e 1 vogal para terminá-la. Isto pode ser feito, respectivamente, de e maneiras. As outras 7 letras podem ocupar qualquer uma das 7 posições e isto se dá de 7! maneiras. Portanto * * é o número de anagramas da palavra UNIFORMES que começam por consoante e terminam por vogal. Exemplo 3 Quantos triângulos e quantos quadriláteros diferentes podem ser traçados utilizando-se 14 pontos de um plano, não havendo 3 pontos alinhados? R: Como não há 3 pontos alinhados, basta escolhermos 3 pontos dentre os 14 para traçarmos um triângulo. Desta forma, podemos traçar triângulos diferentes. Para traçarmos quadriláteros, basta escolhermos 4 pontos dentre os 14. Desta forma, podemos traçar quadriláteros diferentes.