Como resolver sistemas com 3 incógnitas

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A regra de Cramer é um método desenvolvido para resolver sistemas lineares. Sistema linear é um conjunto de equações que se relacionam. Para encontrar a solução das incógnitas de um sistema linear existem vários métodos, dentre eles a regra de Cramer.

Para encontrar o conjunto de soluções um sistema linear utilizando a regra de Cramer é necessário conhecer o cálculo do determinante de uma matriz, pois reescrevemos o sistema linear como uma matriz dos coeficientes do sistema linear e utilizamos uma relação entre os determinantes para encontrar o valor de cada uma das incógnitas desse sistema linear.

Leia também: Regra de Sarrus — calculando o determinante de matrizes quadradas de ordem 3

Resumo sobre regra de Cramer

• A regra de Cramer é um método para encontrar as soluções de um sistema linear.

• Dado um sistema de equações, a regra de Cramer propõe que:

D, Dx, Dy e Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema.

Videoaula sobre a regra de Cramer

O que é a regra de Cramer?

A regra de Cramer foi desenvolvida pelo matemático Gabriel Cramer, que tinha como objetivo encontrar um método para facilitar a busca dos valores que são solução de um sistema linear que possuem o mesmo número de equações e incógnitas. Um sistema linear é um conjunto de n equações que estão relacionadas entre si. Vejamos um exemplo algébrico de sistema linear 3x3.

A regra de Cramer determina que:

D, Dx, Dy e Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema.

• D → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas;

• Dx → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes que estão depois da igualdade;

• Dy → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes que estão depois da igualdade;

• Dz → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes que estão depois da igualdade.

Para aplicar a regra de Cramer, é necessário retirar desse sistema linear quatro matrizes 3x3, das quais calcularemos o determinante.

A primeira delas é a matriz formada por cada um dos coeficientes de x, y e z. Seu determinante é representado por D.

Já nas demais matrizes, vamos substituir cada uma das colunas pela coluna dos valores que estão depois da igualdade. Por exemplo, Dx terá na sua primeira coluna, onde ficavam os coeficientes de x, os valores de d1, d2 e d3. Em Dy e Dz, isso acontecerá respectivamente nas 2ª e 3ª colunas:

Após calcular os 4 determinantes, é possível obter a razão entre eles, para encontrarmos o valor de cada uma das variáveis.

Observação: Como vamos calcular a razão entre os determinantes, e o denominador sempre será o determinante D, para encontrar os valores para as incógnitas é necessário que D ≠ 0. Caso o determinante D seja igual a 0, significa que ou o sistema é impossível, ou seja, não possui soluções, ou o sistema é possível indeterminando, ou seja, possui infinitas soluções.

Leia também: Teorema de Binet – processo prático para a multiplicação de matrizes

Regra de Cramer em um sistema 2x2

Vejamos, a seguir, a aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema linear 2x2.

Exemplo:

Resolução:

Como esse sistema é 2x2, encontraremos os valores de: D, Dx e Dy.

Calculando o determinante, temos que:

D = 2 · 2 – 4 · 3

D = 4 – 12

D = – 8

Agora, calcularemos Dx:

Dx = 7 · 2 – 10 · 3

Dx = 14 – 30

Dx = – 16

Calcularemos também Dy:

Dy = 2 · 10 – 7 · 4

Dy = 20 – 28

Dy = – 8

Em seguida, calcularemos os valores de x e de y:

Então, os valores de x e y que satisfazem esse sistema de equação são x = 2 e y = 1.

Regra de Cramer para um sistema 3x3

Agora, vejamos um exemplo da aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema de equação 3x3.

Exemplo:

Resolução:

Primeiramente, calcularemos o valor de D:

D = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 2 + 5 · 1 · (– 1) – [5 · 2 · 2 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 1 · 3]

D = 6 – 6 – 5 – [20 – 1 – 9]

D = – 5 – 10

D = – 15

Agora, calcularemos o valor de Dx:

Dx = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 10 + 5 · 12 · (– 1) – [5 · 2 · 10 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 12 · 3]

Dx = 6 – 30 – 60 – [100 – 1 – 108]

Dx = – 84 + 9

Dx = – 75

Calculando Dy:

Dy = 1 · 12 · 3 + 1 · 1 · 2 + 5 · 1 · 10 – [5 · 12 · 2 + 1 · 1 · 10 + 1 · 1 · 3]

Dy = 36 + 2 + 50 – [120 + 10 + 3]

Dy = 88 – 133

Dy = – 45

Calculando Dz:

Dz = 1 · 2 · 10 + (– 3) · 12 · 2 + 1 · 1 · (– 1) – [1 · 2 · 2 + 1 · 12 · (– 1) + (– 3) · 1 · 10

Dz = 20 – 72 – 1 – [4 – 12 – 30]

Dz = – 53 +38

Dz = – 15

Agora podemos encontrar os valores de x, y e z:

Leia também: Multiplicação de matrizes — passo a passo de como efetuar

Exercícios resolvidos sobre regra de Cramer

Questão 1

Uma determinada escola resolveu realizar jogos olímpicos em comemoração ao Dia do Cerrado, com 14 modalidades. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Sendo x, y e z as pontuações recebidas para as medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente, então x + y + z será igual a:

A) 8. B) 9. C) 10. D) 11.

E) 12.

Resolução:

Alternativa B

Para encontrar o valor de cada uma das medalhas na pontuação, montaremos o seguinte sistema:

Aplicando a regra de Cramer, temos que:

D = 5 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 5 – [4 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28

Agora, calcularemos Dx:

Dx = 43 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 39 + 3 ⋅ 44 ⋅ 5 − [39 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 43 + 4 ⋅ 44 ⋅ 53] = − 140

Calculando Dy:

Dy = 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 39 − [4 ⋅ 44 ⋅ 3 + 39 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 43] = − 84

Calculando Dz:

Dz = 5 ⋅ 4 ⋅ 39 + 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 5 ⋅ 5 − [4 ⋅ 4 ⋅ 43 + 5 ⋅ 44 ⋅ 5 + 39 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28

Então, calculando x, y e z, temos que:

Por fim, x + y + z = 5 + 3 + 1 = 9.

Questão 2

Em uma visita ao supermercado, Kamila, sem querer, acabou esbarrando em uma prateleira onde havia copos e taças de vidro. Ao todo, 4 copos e 3 taças foram quebrados. Ao chegar ao caixa e informar o ocorrido, ela decidiu pagar pelos produtos danificados, que totalizaram R$ 15,00. Se o acidente não tivesse ocorrido e Kamila comprasse 2 copos e uma taça, o valor pago seria de R$ 6,00. Sabendo disso, o valor de uma taça somado ao de um copo é de:

A) R$ 1,50. B) R$ 3,00. C) R$ 4,50. D) R$ 5,00.

E) R$ 6,50.

Resolução:

Alternativa C

Primeiramente, montaremos o sistema com duas equações.

x→ preço do copo

y → preço da taça

De acordo com o enunciado, temos que:

4x + 3y = 15

2x + y = 6

Aplicando a regra de Cramer:

D = 4 · 1 – 2 · 3

D = 4 – 6

D = – 2

Calculando Dx:

Dx = 15 · 1 – 3 · 6

Dx = 15 – 18

Dx = – 3

Calculando Dy:

Dy = 4 · 6 – 15 · 2

Dy = 24 – 30

Dy= – 6

Dessa forma, temos que:

Então, o valor de um copo e uma taça é de 1,50 + 3,00 = R$ 4,50.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Resolver sistemas lineares é uma tarefa bastante recorrente para estudos nas áreas das ciências da natureza e da matemática. A busca por valores desconhecidos fez com que fossem desenvolvidos métodos de resolução de sistemas lineares, como o método da adição, igualdade e substituição para sistemas que possuem duas equações e duas incógnitas, e a regra de Crammer e o escalonamento, que resolvem sistemas lineares de duas equações, mas que são mais convenientes para sistemas  com mais equações. Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações com uma ou mais incógnitas.

Leia também: Qual a relação entre matrizes e sistemas lineares?

Equação linear

O trabalho com equações existe devido à necessidade de encontrarmos valores desconhecidos de incógnitas. Chamamos de equação quando temos uma expressão algébrica com igualdade, e ela é classificada como linear quando o maior expoente de suas incógnitas é 1, conforme os exemplos a seguir:

2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas

a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita

De modo geral, uma equação linear pode ser descrita por:

a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c

Conhecemos como sistema de equação quando há mais de uma equação linear. Começaremos com sistemas lineares de duas incógnitas.

Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem vários métodos, os três mais conhecidos são:

• método da comparação
• método da adição
• método da substituição

Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Esses métodos não são tão eficientes para sistemas com mais equações, já que existem outros métodos específicos para resolvê-los.

O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e realizar a substituição na outra equação.

Exemplo:

1º passo: isolar uma das incógnitas.

Chamamos de I a primeira equação e de II a segunda equação. Analisando as duas, vamos escolher a incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. Note que, na equação I → x + 2y = 5, o x não possui coeficiente, o que faz com que seja mais fácil isolá-lo, logo, reescreveremos a equação I desta forma:

I → x + 2y = 5

I → x = 5 – 2y

2º passo: substituir I em II.

Agora que temos a equação I com o x isolado, na equação II, podemos substituir x por 5 – 2y.

II → 3x – 5y = 4

Substituindo x por 5 – 2y:

3 (5 – 2y) – 5y = 4

Agora que a equação tem só uma incógnita, é possível resolvê-la para encontrar o valor de y.

Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x realizando a substituição do valor de y na equação I.

I → x = 5 – 2y

x = 5 – 2 · 1

x = 5 – 2

x = 3

Então a solução do sistema é S = {3,1}.

O método da comparação consiste em isolarmos uma incógnita nas duas equações e igualar esses valores.

Exemplo:

1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que:

2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x.

3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações.

x = -4 – 3y

x = -4 – 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Então a solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}.

Veja também: Quais as diferenças entre função e equação?

O método da adição consiste em realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero.      

Exemplo:

1º passo: multiplicar uma das equações para que os coeficientes fiquem opostos.

Note que, se multiplicarmos a equação II por 2, teremos 4y na equação II e -4y na equação I, e que, ao somarmos I + II, teremos 0y, logo, vamos multiplicar todos os termos da equação II por 2 para que isso aconteça.

I → 5x – 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2º passo: realizar a soma I + 2 · II.

3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das equações.

Quando o sistema possui três incógnitas, adotamos outros métodos de resolução. Todos esses métodos relacionam os coeficientes com matrizes, e os métodos mais utilizados são a regra de Crammer ou o escalonamento. Para a resolução em ambos os métodos, é necessário a representação matricial do sistema, inclusive o sistema 2x2 pode ser representado por meio de uma matriz. Há duas possíveis representações, a matriz completa e a matriz incompleta:

Exemplo:

O sistema 

Pode ser representado pela matriz completa

E pela matriz incompleta

Para encontrarmos soluções de um sistema 3x3, com incógnitas x, y e z, utilizando a regra de Crammer, é necessário calcularmos o determinante da matriz incompleta e suas variações. Temos então que:

D → determinante da matriz incompleta do sistema.

Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de x pela coluna dos termos independentes.

Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de y pela coluna dos termos independentes.

Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de z pela coluna dos termos independentes.

Dessa forma, para encontrar o valor de suas incógnitas, primeiro precisamos calcular o determinante D, Dx, Dy associado ao sistema.

Exemplo:

1º passo: calcular D.

2º passo: calcular Dx.

3º passo: então podemos encontrar o valor do x, pois:

4º passo: calcular Dy.

5º passo: então podemos calcular o valor de y:

6º passo: agora que conhecemos o valor de x e y, em qualquer uma das linhas podemos encontrar o valor de z substituindo o valor de x e y e isolando o z. Outra opção é calcular Dz.

Substituindo x = 0 e y = 2 na primeira equação:

2x + y – z = 3

2 · 0 + 2 – z = 3

0 + 2 – z = 3

-z = 3 – 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Portanto, a solução do sistema é a terna (0,2,-1).

Acesse também: Resolução de problemas por sistemas de equação  

Outro método de resolver sistemas lineares é o escalonamento, nele utilizamos somente a matriz completa e operações entre as linhas com o objetivo de isolar as suas incógnitas. Vamos escalonar o sistema a seguir.

1º passo: escrever a matriz completa que represente o sistema.

Seja L1, L2 e L3 respectivamente as linhas 1, 2 e 3 da matriz, vamos realizar operações entre L1 e L2 e  L1 e L3, de modo que o resultado faça com que os termos que estão na primeira coluna da segunda e da terceira linhas fiquem iguais a zero.

Analisando a segunda linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L2 → -2 · L1 + L2, com objetivo de zerar o termo a21.

a21 = -2 · 1 + 2 = 0

a22 =  -2 · 2 + 1 = -3  

a23 = -2 · (-3) + 1 = 7

a24 =  -2 · 10 + 3 = -17

Então a L2 será 0  -3  7  -17.

Analisando a terceira linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L3 → 3L1 + L2, com o objetivo de zerar o termo a31.

a31 = 3 · 1 – 3 = 0

a32 = 3 · 2 + 2 = 8

a33 = 3 · (-3) +1 = -8

a34 = 3 · 10 – 6 = 24

Então a L3 será  0  8  -8  24. 

Note que todos são divisíveis por 8, logo, para que a linha L3 fique mais simplificada, vamos dividi-la por 8.

L3 → L3 : 8 será: 0  1  -1  3.

Assim a nova matriz da equação escalonada será:

Agora o objetivo é zerar a coluna y na terceira linha, realizaremos operações entre a L2 e L3, com o objetivo de zerar a segunda coluna de uma delas.

Substituiremos a L3 por L3 → L2 + 3L3.

a31 = 0 + 3 · 0 = 0

a32 = -3 + 3 · 1 = 0

a33 = 7 + 3 · (-1) = 4

a34 = -17 + 3 · 3 = -8

Então L3 será: 0  0  4  -8.

A nova matriz escalonada será:

Agora, ao representarmos essa matriz como um sistema novamente, adicionando x, y e z nas colunas, encontraremos o seguinte:

Podemos então encontrar o valor de cada uma das incógnitas. Analisando a equação III, temos que:

Se z = -2, vamos substituir o valor de z na segunda equação:

Por fim, na primeira equação, vamos substituir o valor de y e z para encontrarmos o valor de x.

Veja também: Sistema de inequações de 1º grau – como resolver?

Classificação de sistema linear

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares, podendo ter várias incógnitas e várias equações. Existem vários métodos para resolvê-lo, independentemente da quantidade de equações. Existem três classificações para um sistema linear.

• Sistema possível determinado (SPD): quando possui uma única solução.
• Sistema possível indeterminado (SPI): quando possui infinitas soluções.
• Sistema impossível (SI): quando não existe nenhuma solução.

Exercícios resolvidos

Questão 1 (IFG 2019) Considere a soma das medidas de uma base e da altura relativa a essa base de um triângulo igual a 168 cm e a diferença igual a 24 cm. É correto afirmar que as medidas da base e da altura relativa a essa base medem, respectivamente:

a) 72 cm e 96 cm

b) 144 cm e 24 cm

c) 96 cm e 72 cm

d) 24 cm e 144 cm

Resolução

Alternativa C.

Seja h → altura e b → base, então temos o seguinte sistema:

Pelo método da adição, temos que:

Para encontrar o valor de h, vamos substituir b = 96 cm na primeira equação:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 – 96

h = 72 cm

Questão 2 A matriz incompleta que representa o sistema linear a seguir é:

Resolução

Alternativa C.

A matriz incompleta é aquela que possui os coeficientes de x, y e z, logo, ela será uma matriz 3x3. Analisando-se as alternativas, a que contém a matriz 3x3 com os sinais corretos é a de letra C.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática