Como calcular raiz quadrada pelo método de aproximação

Matemática

A fórmula que apresentada logo abaixo é uma aproximação para raízes quadradas, mas se nos deparamos com um problema e não temos uma calculadora na mão, ou o nosso celular ficou sem bateria, podemos usá-la sem medo. Vejamos:

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Onde, Q é o quadrado mais próximo de n.

Exemplo 1: se quisermos encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de 17, procedemos da seguinte forma:

Como o quadrado 16 é o mais próximo do número que queremos encontrar a raiz, aplicamos na fórmula (1):

Pela calculadora encontramos o valor de 4,123...

Exemplo 2: se quisermos encontrar a raiz quadrada de 173, procedemos da seguinte forma:

Como o quadrado de 13 é o mais próximo de 173, aplicamos na fórmula (1):

Pela calculadora encontramos o valor de 13,1529...

Exemplo 3: Certo. E para raízes de números decimais? Usamos o mesmo princípio. Vamos encontrar uma aproximação para 0,0058.

Primeiro vamos deixar o número 0,0058 em sua forma fracionária:

Vamos encontrar o quadrado mais próximo de 58, que é 64:

Pela calculadora encontramos o valor de 0,07615...

Difícil?

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Matemática

Fala, pessoal!

Neste artigo, vou ensinar uma maneira muito prática para calcular uma excelente aproximação para a raiz n-ésima de um número p qualquer.

O método que mostrarei a seguir é um caso particular do Método de Newton-Raphson.

Vamos começar com a raiz quadrada para que você possa entender o método. Adaptando o método de Newton-Raphson, obtemos que a raiz quadrada de p pode ser aproximada por:

Na fórmula acima, x é uma aproximação qualquer para a raiz quadrada de p.

Exemplo 1: Calcular uma aproximação para √405,4.

Ora, sabemos que √400=20. Assim, podemos usar 20 como uma aproximação inicial para √405,4, ou seja, x = 20. Ficamos com:

Na calculadora, observamos que o valor exato é 20,13454742… . Obtivemos uma excelente aproximação!!!

Exemplo 2: Calcular uma aproximação para √193.

Ora, sabemos que 142 = 196. Logo, podemos usar x = 14 como aproximação inicial.

Mais uma excelente aproximação!!! Na calculadora, tem-se que √193 = 13,89244399… .

Vamos agora generalizar. Utilizando o método de Newton-Raphson, fiz uma adaptação para obtermos excelentes aproximações para raízes de qualquer índice. A fórmula é a seguinte:

Na fórmula acima, x é uma primeira aproximação para a raiz procurada.

Vamos fazer alguns exemplos para praticar.

Exemplo 3: Calcular uma aproximação para

Ora, sabemos que 63 = 216. Logo, podemos utilizar x = 6 para calcular a aproximação. Temos ainda que n = 3 e p = 237. Ficamos com:

Na calculadora, obtém-se o valor exato de 6,18846…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,09%.

Exemplo 4: Calcular uma aproximação para

Sabemos que 27 = 128. Logo, podemos utilizar x = 2 para calcular a aproximação.

Na calculadora, obtém-se o valor exato de 2,0278…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,05%.

Veja que o caso anterior da raiz quadrada é apenas um caso particular dessa fórmula geral em que n = 2.

Espero que tenham gostado!

Um forte abraço,

Guilherme Neves

Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes, que pode ser adaptada para encontrar aproximações de raízes quadradas.

A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte:

Se $f(x) = 0$ tem apenas uma raiz no intervalo $[a,b]$ e se nem $f'(x)$ nem $f''(x)$ se anulam nesse intervalo, escolhendo $x_0$ como aquele dos dois números $a$ e $b$ para o qual $f(x)$ e $f''(x)$ tem mesmo sinal, então:

$$x_k = x_{k-1} - \frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}

situa-se mais perto da raiz de $x_0$.

Seja $f(x) \in C^2$ (Conjunto das funções com até a 2ª derivada contínua) no intervalo $[a, b]$, a aproximação da raiz $x \in [a,b]$, $f(p)=0$, $x$ é a aproximação de $p$, tal que $f'(x)\neq 0$ e $|p-x|<\varepsilon$, $\varepsilon \in \mathbb{R}$.

A derivada $f '(x_0)$ é a reta tangente da função no ponto $x_0$. Se o ponto $x_0$ está localizado nos pontos de inflexão, máximos ou mínimos, a derivada da função tende a zero e é por esse motivo que o Método de Newton não converge se $f '(x_0)$ tende a zero.

O Método de Newton é excelente para calcular aproximações de raízes reais de funções reais, convergindo rapidamente, mas neste artigo, iremos aplicá-lo somente para calcular aproximações de raízes quadradas de números reais.

Exemplo:

Vamos aproximar $\sqrt{3}$ utilizando o Método de Newton, como precisão de $\varepsilon = 10^{-4}$. O erro é dado por $E=|(a_k)^2-n|$.

Como queremos encontrar uma aproximação para $\sqrt{3}$, fazemos $x=\sqrt{3}$ e assim $x^2=3$.

Podemos reescrever como $f(x) = x^2-3$ e sua derivada será $f'(x)=2x$.

Temos que escolher uma aproximação inicial $(x_0)$. Como a raiz quadrada de três está localizada entre $1$ e $2$, podemos fazer $x_0=1,5$. Mas veja que qualquer outro número também pode ser válido, mas quanto mais próxima da raiz real, mais rápida será a convergência.

Antes de prosseguir, fazemos o teste do erro da aproximação inicial. Como $E=|1,5^2-3|>10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.

Para calcularmos uma aproximação, utilizamos o algoritmo:

$$x_k = x_{k-1} - \frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}

Para $k=1$, fazemos:

$$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \\\ \\x_1 = 1,5 - \frac{f(1,5)}{f'(1,5)} \\\ \\x_1 = 1,5 - \frac{(-0,75)}{3} \\\ \\x_1 = 1,75

Fazemos o teste do erro. Como $E=|1,75^2-3|>10^{-4}$, continuamos as iterações.

Para $k=2$, fazemos:

$$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \\\ \\x_2 = 1,5 - \frac{f(1,75)}{f'(1,75)} \\\ \\x_2 = 1,5 - \frac{(-0,0625)}{3,5} \\\ \\x_2 = 1,732142857

Fazemos o teste do erro. Como $E=|1,732142857^2-3|>10^{-4}$, continuamos as iterações.

Para $k=3$, fazemos:

$$x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \\\ \\x_3 = 1,732142857 - \frac{f(1,732142857)}{f'(1,732142857)} \\\ \\x_3 = 1,732142857 - \frac{0,000318877056}{3,464285714} \\\ \\x_3 = 1,73205081

Fazemos o teste do erro. Como $E=|1,73205081^2-3|<10^{-4}$, tomamos $x_3$ como uma aproximação para $\sqrt{3}$

Planilha para download:

Você pode fazer uma planilha elaborada no Excel com o algoritmo de Newton.

download

A planilha é como a imagem abaixo:

Nesta planilha, você insere o número que deseja encontrar a raiz quadrada, entra com uma aproximação inicial e uma precisão desejada. Os cálculos são efetuados automaticamente através das fórmulas previamente inseridas nas células.

Quando o algoritmo encontrar uma aproximação de acordo com a precisão desejada, os cálculos param e a mensagem "Aproximação encontrada" é exibida. No caso da imagem acima, foi encontrada uma aproximação da raiz quadrada de três, com uma precisão de dez casas decimais, com apenas 4 iterações.