A raiz quadrada de um número X qualquer, é um número Y que, elevado ao quadrado (ou seja, multiplicado por ele mesmo), resulte no número X. Assim, podemos dizer que: Show
A raiz quadrada é a operação inversa de uma potenciação de expoente 2. Definição:Considere a seguinte equação: $$${^n}√{a}=b$$$
a e b são números reais; n é um número natural maior que 1 (no caso da raiz quadrada, o índice pode ser omitido). ✅ Curiosidade Como calcular a raiz quadrada?Raiz quadrada exataEm caso de números mais simples, basta pensarmos em um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte no número cuja raiz queremos descobrir: Exemplo 1: $$√{4}=2$$, pois $$2^2=4$$, ou seja, $$2×2=4$$. Exemplo 2: $$√{9}=3$$, pois $$3^2=9$$, ou seja, $$3×3=9$$. Quando os números vão ficando maiores, esse procedimento se torna mais difícil. De modo que precisamos recorrer à decomposição do número em fatores primos: Exemplo 3: $$√{576}=$$ $$$576÷2=288$$$ $$$288÷2=144$$$ $$$144÷2=72$$$ $$$72÷2=36$$$ $$$36÷2=18$$$ $$$18÷2=9$$$ $$$9÷3=3$$$ $$$3÷3=1$$$ Agora, agrupamos os divisores dois a dois, da seguinte maneira: $$2²×2²×2²×3²$$. Portanto: $$$√{576}=√{2²×2²×2²×3²}$$$ Em seguida, os expoentes e o índice são simplificados, resultando no produto $$2×2×2×3=24$$. Ou seja: $$$√{576}=24$$$ Raiz quadrada não-exataNem todos os números possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, conseguimos encontrar a raiz exata de 16 e 25: $$√{16}=4$$ e $$√{25}=5$$, mas não há raiz exata para o número 20, exemplo, de modo que sua raiz é um número decimal entre 4 e 5. Há duas maneiras de encontrar uma raiz não-exata: 1. Decomposição em fatores primos: $$$√{20}$$$ $$$20÷2=10$$$ $$$10÷2=5$$$ $$$5÷5=1$$$ Logo: $$√{20}=√{2²×5}$$. Nesse caso, o expoente 2 é simplificado com o índice. O número 2 passa a multiplicar a raiz, e o número 5 (que não foi simplificado, pois não possuía expoente igual ao índice) permanece dentro da raiz. Portanto: $$√{2²×5}=2×√{5}$$ ou $$2√{5}$$. 2. Tentativa por aproximação: Esse segundo método, consiste em multiplicar números decimais por eles mesmos, até encontrar o valor mais próximo da radiciação. Exemplo: Sabemos que $$√{20}$$ é um número decimal entre 4 e 5. Logo: $$$4,1×4,1=16,81$$$ $$$4,2×4,2=17,64$$$ $$$4,3×4,3=18,49$$$ $$$4,4×4,4=19,36$$$ $$$4,5×4,5=20,25$$$ Percebemos então, que o número mais próximo para a $$√{20}$$ (com uma casa decimal) é 4,4. Dessa maneira, podemos ir chutando valores, com quantas casas decimais quisermos, embora os cálculos se tornem cada vez mais demorados. Operações com raizes quadradasAdição e subtraçãoAo tentar somar ou subtrair raizes diferentes, como $$√{5}+√{2}$$, o resultado se mantém o mesmo $$√{5}+√{2}$$, a não ser que encontremos os valores dessas raizes, para em seguida realizarmos a soma: $$√{5}≈2,24$$ e $$√{2}≈1,41$$. Portanto, $$√{5}+√{2}=(2,24)+(1,41)=3,65$$. Porém, quando se trata de raizes quadradas com o mesmo radicando, conservamos a raiz e efetuamos a soma ou subtração dos números fora da raiz: Exemplo 1: $$2√{5}+3√{5}= (2+3)√{5}=5√{5}$$ Exemplo 2: $$7√{2}-5√{2}= (7-5)√{2}=2√{2}$$ Multiplicação e divisãoDiferente da adição, o caso da multiplicação permite realizar a operação com raizes diferentes. Caso haja números externos à raiz, eles também podem ser multiplicados entre si. Multiplica-se números externos com números externos e radicandos com radicandos Exemplo 1: $$√{3}×√{6}= √{(3×6)}=√{18}$$ Exemplo 2: $$2√{2}×4√{3}= (2×4)√{(2×3)}=8√{6}$$ O caso da divisão é idêntico: números externos com números externos e radicandos com radicandos Exemplo 3: $$√{15}÷√{5}= √{(15÷5)}=√{3}$$ Exemplo 4: $$6√{10}÷2√{5}= (6÷2)√{(10÷5)}=3√{2}$$
Portando , a raiz quadrada de 20 é de aproximadamente 4,47. A raiz quadrada de 52 é aproximadamente 7,2. Determinar a raiz quadrada consiste em calcular o número que, elevado ao quadrado, gera o valor desejado. Por exemplo, a raiz quadrada do número 25 corresponde ao número 5, pois 5² é igual a 25. A raiz quadrada de um determinado número é um valor que, quando multiplicado por si próprio, possui como resultado o número inicial. A raiz quadrada de 41 é, aproximadamente, 6,403. Portanto, a raiz quadrada de 0,01 é igual a 1/10, ou seja, 0,1. De fato, observe que: 0,1.0,1 = 1/10.1/10 = 1/100 = 0,01. Por exemplo, vamos verificar a raiz quadrada aproximada do número 12. De acordo com a reta numérica, a √12 está localizada entre a raiz quadrada dos seguintes números quadrados perfeitos: 9 e 16. Dessa forma, temos que: √9 = 3 e √16 = 4. Portanto, a √12 possui como resultado, um número decimal entre 3 e 4. A raiz quadrada de 40 é igual a 2√10. Para calcularmos uma raiz quadrada, devemos, primeiramente, fatorar o radicando. Para resolver exercícios com raiz quadrada, devemos calcular o número que elevado ao quadrado gera o valor que está dentro da raiz. Para saber qual a raiz de 0,444… devemos encontrar a fração geratriz. A raiz quadrada de 50 é igual a 5√2. O símbolo de raiz cúbica é 3 cube root of, end cube root . Encontrar a raiz cúbica de um número é o inverso de elevar um número ao cubo. Não é um valor exato mais a raiz de 8 é aproximadamente 2,828. Logo, o número cuja raiz quadrada é 6 é o 36.
A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3). Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta. Como calcular a raiz quadrada?Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários. No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos. Quanto é a raiz quadrada de √2704?  Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos. No exemplo acima, temos Portanto, a √2704 é 52. Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:
Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural. Exemplos:
Saiba mais sobre os números racionais e números irracionais. Você sabia?Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento. ExemplosRaiz Quadrada de 2√2 = 1.41421356237... (raiz quadrada não-exata) √3 = 1.73205080757... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 5√5 = 2.2360679775... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 8√8 = 2.82842712475... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 9√9 = 3 (pois 32 é igual a 9) Raiz Quadrada de 25√25 = 5 (pois 52 é igual a 25) Raiz Quadrada de 36√36 = 6 (pois 62 é igual a 36) Raiz Quadrada de 49√49 = 7 (pois 72 é igual a 49) Raiz Quadrada de 64√64 = 8 (pois 82 é igual a 64) Raiz Quadrada de 100√100 = 10 (pois 102 é igual a 100) Raiz Quadrada de 144√144 = 12 (pois 122 é igual a 144) Raiz Quadrada de 196√196 = 14 (pois 142 é igual a 196) Raiz Quadrada de 400√400 = 20 (pois 202 é igual a 400) Saiba mais sobre Quadrado Perfeito. Exercícios resolvidos com raiz quadradaQuestão 1(UFPI) Desenvolvendo a expressão (2√27 + 2√3 – 1)2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é: a) 59 b) 47 c) 41 d) 57 e) 1
Alternativa correta: c) 41. Para iniciar a resolução da questão, devemos fatorar o radicando 27.
3.3.3 = 33 = 3.32 Lembre-se: podemos remover um número de dentro da raiz quando seu expoente é igual ao índice do radical.
Como temos uma raiz quadrada, vamos substituir o número 27 do radicando por 3.32 para que um dos termos esteja com expoente 2 e, assim, possamos removê-lo da raiz.
Observe que o termo se repete na expressão. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.
Agora, vamos resolver a expressão.
Sendo a = 49 e b = – 8, o valor de a + b é: 49 + (– 8) = 41 Portanto, a alternativa correta é c) 41. (UTF - PR) Considere as seguintes expressões: I. II. III. É (são) verdadeira(s), somente: a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III.
Alternativa correta: b) II. I. ERRADA. A resposta correta é . II. CORRETA. O cálculo dessa expressão envolve a racionalização para retirar a raiz do denominador da fração. III. ERRADA. A resposta correta é 4.
Questão 3(UFRGS) A expressão a) √2 + 3√3/4√2 b) 5√2 c) √3 d) 8√2 e) 1
Alternativa correta: e) 1. 1º passo: fatorar os radicandos e escrevê-los utilizando potências.
2º passo: podemos substituir os valores calculados pelos respectivos termos na expressão.
3º passo: simplificar a expressão. De acordo com uma das propriedades dos radicais, quando o radicando possui expoente igual ao índice do radical, podemos removê-lo da raiz.
Efetuando essa operação na expressão, temos:
Outra propriedade nos mostra que se dividirmos o índice e o expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Portanto, simplificamos a expressão e chegamos ao resultado da alternativa "e", que é 1. Veja também: Fatoração de Polinômios Símbolo da Raiz QuadradaO símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x. Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t. Aprenda mais sobre esse assunto em |
Como calcular raiz quadrada de 20
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