Apresentamos a nossa calculadora de raiz quadrada. Você só precisa digitar o número para o qual você deseja calcular a raiz e pressionar o botão para obter o resultado. Você pode tambem calcular raízes com diferentes indices (raiz cubica, raiz quarta,…) ou fazer a operação inversa da raiz (exponenciação).
3 opções para o cálculo:
A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a.
Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver?
Radiciação
Na raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes.
A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n.
Elementos da radiciação
A operação é representada por:
n→ índice
a→ radicando
b→ raiz
Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo.
Calculando a raiz quadrada
O cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a.
Tipos de raiz quadrada
Uma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional.
Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando.
Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir.
Calcule a raiz quadrada de 3600.
Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada.
Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical.
Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100.
Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos.
Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49.
Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40.
6,1² = 37,21
6,2²= 38,44
6,3²=39,69
6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação.
Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata.
Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver
Interpretação geométrica da raiz quadrada
Alguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m².
Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área.
O lado do quadrado é de 13 metros.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72?
A) 8,1
B) 8,2
C) 8,3
D) 8,4
E) 8,5
Resolução
Alternativa D.
Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que:
8,1²= 65,61
8,2²= 67,24
8,3²= 68,89
8,4²= 70,56
8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4.
Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata?
Resolução
Alternativa C.
a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121.
b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69.
c) Não possui raiz exata
d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½.
e) Possui raiz exata igual a 1.
-
1
Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,
se torna. Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.- Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escrevana porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta () na região direita superior.
- Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
-
2
Descubra qual é o maior
inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.- No exemplo, a porção mais à esquerda é o número . Como se sabe que, é possível afirmar que, uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escrevano quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva(quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.
- No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
-
3
Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.
- No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a .
- No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
-
4
Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:
.- No exemplo, o próximo par à disposição é . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que. Escreva no canto direito inferior, seguido por.
- No exemplo, o próximo par à disposição é
-
5
Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.
- No exemplo, preencher os espaços em branco com dá como resultado:. Esse é um valor maior que. Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:. Confirma-se que ele atende à necessidade porque, então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .
- No exemplo, preencher os espaços em branco com
-
6
Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.
- No exemplo, será subtraído de , resultando em.
- No exemplo,
-
7
Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (
) como previamente.- No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte () no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (), obtém-se— escrevano quadrante direito inferior.
- No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
-
8
Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.
- No exemplo, , que é menor ou igual ao número à esquerda (). Observando-se que, que é alto demais, você chega à conclusão de queé a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:.
- No exemplo,
-
9
Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.
-
1
Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área
de um quadrado. Como essa área tem por fórmula, onderepresenta o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão. -
2
Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável
como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),como sendo a segunda,como sendo a terceira e assim por diante. -
3
Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável
ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),ao segundo par de casas decimais e assim por diante. -
4
Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).
-
5
Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que
). No exemplo,e, de modo que.- Em um exemplo, se você quisesse dividir por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrarde modo que. Nesse caso, seria igual a.
- Em um exemplo, se você quisesse dividir
-
6
Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais
, no caso de uma resposta com três casas decimaise assim por diante.- No exemplo, . Lembre-se de querepresenta a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-seecomo exemplo, resultará no número. Serepresenta a área do quadrado,representa a área do maior quadrado interno,representa a área do menor quadrado interno erepresenta a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.
- No exemplo,
-
7
Subtraia
de . Desça um par () de casas decimais de . A expressãorepresenta quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado peloobtido no Passo 4 (no exemplo supracitado). Aqui,(área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor). -
8
Procure por , também escrito como
. No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição. Por fim, você restará com. -
9
Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por
), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação. Ela é a mesma que se realiza ao se escrever(sendo) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição . -
10
Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área
até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar). -
11
Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (
) de a fim de obterà esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição(equivalente a escrever duas vezes o valorcom duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.