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Como calcula a raiz quadrada de

1 anos atrás
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Apresentamos a nossa calculadora de raiz quadrada. Você só precisa digitar o número para o qual você deseja calcular a raiz e pressionar o botão para obter o resultado. Você pode tambem calcular raízes com diferentes indices (raiz cubica, raiz quarta,…) ou fazer a operação inversa da raiz (exponenciação).

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3 opções para o cálculo:

A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a.

Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados.

Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver?

Radiciação

Na raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes.

A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n.

Elementos da radiciação

A operação é representada por:

Como calcula a raiz quadrada de
  radical

n→ índice

a→ radicando

b→ raiz

Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo.

Calculando a raiz quadrada

O cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a.

Tipos de raiz quadrada

Uma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional.

Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando.

Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir.

Calcule a raiz quadrada de 3600.

Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada.

Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical.

Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100.

Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos.

Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49.

Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40.

6,1² = 37,21

6,2²= 38,44

6,3²=39,69

6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação.

Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata.

Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Alguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m².

Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área.

O lado do quadrado é de 13 metros.

Como calcula a raiz quadrada de
A raiz quadrada é um tipo específico de radiciação.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72?

A) 8,1

B) 8,2

C) 8,3

D) 8,4

E) 8,5

Resolução

Alternativa D.

Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que:

8,1²= 65,61

8,2²= 67,24

8,3²= 68,89

8,4²= 70,56

8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4.

Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata?

Resolução

Alternativa C.

a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121.

b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69.

c) Não possui raiz exata

d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½.

e) Possui raiz exata igual a 1.    

  1. 1

    Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,

    Como calcula a raiz quadrada de
    se torna
    Como calcula a raiz quadrada de
    . Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.

    • Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
      Como calcula a raiz quadrada de
      . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escreva
      Como calcula a raiz quadrada de
       na porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta (
      Como calcula a raiz quadrada de
      ) na região direita superior.

  2. 2

    Descubra qual é o maior

    Como calcula a raiz quadrada de
    inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.

    • No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
      Como calcula a raiz quadrada de
      . Como se sabe que
      Como calcula a raiz quadrada de
      , é possível afirmar que
      Como calcula a raiz quadrada de
      , uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escreva
      Como calcula a raiz quadrada de
       no quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva
      Como calcula a raiz quadrada de
       (quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.

  3. 3

    Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.

    • No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
      Como calcula a raiz quadrada de
      .

  4. 4

    Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:

    Como calcula a raiz quadrada de
    .

    • No exemplo, o próximo par à disposição é
      Como calcula a raiz quadrada de
      . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que
      Como calcula a raiz quadrada de
      . Escreva no canto direito inferior, seguido por
      Como calcula a raiz quadrada de
      .

  5. 5

    Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.

    • No exemplo, preencher os espaços em branco com
      Como calcula a raiz quadrada de
       dá como resultado:
      Como calcula a raiz quadrada de
      . Esse é um valor maior que
      Como calcula a raiz quadrada de
      . Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:
      Como calcula a raiz quadrada de
      . Confirma-se que ele atende à necessidade porque
      Como calcula a raiz quadrada de
      , então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .

  6. 6

    Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.

    • No exemplo,
      Como calcula a raiz quadrada de
       será subtraído de , resultando em
      Como calcula a raiz quadrada de
      .

  7. 7

    Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (

    Como calcula a raiz quadrada de
    ) como previamente.

    • No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
      Como calcula a raiz quadrada de
      ) no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (
      Como calcula a raiz quadrada de
      ), obtém-se
      Como calcula a raiz quadrada de
       — escreva
      Como calcula a raiz quadrada de
       no quadrante direito inferior.

  8. 8

    Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.

    • No exemplo,
      Como calcula a raiz quadrada de
      , que é menor ou igual ao número à esquerda (
      Como calcula a raiz quadrada de
      ). Observando-se que
      Como calcula a raiz quadrada de
      , que é alto demais, você chega à conclusão de que
      Como calcula a raiz quadrada de
       é a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:
      Como calcula a raiz quadrada de
      .

  9. 9

    Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.

  1. 1

    Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área

    Como calcula a raiz quadrada de
    de um quadrado. Como essa área tem por fórmula
    Como calcula a raiz quadrada de
    , onde
    Como calcula a raiz quadrada de
     representa o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão.

  2. 2

    Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável

    Como calcula a raiz quadrada de
    como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),
    Como calcula a raiz quadrada de
     como sendo a segunda,
    Como calcula a raiz quadrada de
     como sendo a terceira e assim por diante.

  3. 3

    Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável

    Como calcula a raiz quadrada de
    ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),
    Como calcula a raiz quadrada de
     ao segundo par de casas decimais e assim por diante.

  4. 4

    Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).

  5. 5

    Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que

    Como calcula a raiz quadrada de
    ). No exemplo,
    Como calcula a raiz quadrada de
     e
    Como calcula a raiz quadrada de
    , de modo que
    Como calcula a raiz quadrada de
    .

    • Em um exemplo, se você quisesse dividir
      Como calcula a raiz quadrada de
       por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrar
      Como calcula a raiz quadrada de
       de modo que
      Como calcula a raiz quadrada de
      . Nesse caso, seria igual a
      Como calcula a raiz quadrada de
      .

  6. 6

    Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais

    Como calcula a raiz quadrada de
    , no caso de uma resposta com três casas decimais
    Como calcula a raiz quadrada de
     e assim por diante.

    • No exemplo,
      Como calcula a raiz quadrada de
      . Lembre-se de que
      Como calcula a raiz quadrada de
       representa a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-se
      Como calcula a raiz quadrada de
       e
      Como calcula a raiz quadrada de
       como exemplo, resultará no número
      Como calcula a raiz quadrada de
      . Se
      Como calcula a raiz quadrada de
       representa a área do quadrado,
      Como calcula a raiz quadrada de
       representa a área do maior quadrado interno,
      Como calcula a raiz quadrada de
       representa a área do menor quadrado interno e
      Como calcula a raiz quadrada de
       representa a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.

  7. 7

    Subtraia

    Como calcula a raiz quadrada de
    de . Desça um par () de casas decimais de . A expressão
    Como calcula a raiz quadrada de
     representa quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado pelo
    Como calcula a raiz quadrada de
     obtido no Passo 4 (
    Como calcula a raiz quadrada de
     no exemplo supracitado). Aqui,
    Como calcula a raiz quadrada de
     (área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor).

  8. 8

    Procure por , também escrito como

    Como calcula a raiz quadrada de
    . No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição
    Como calcula a raiz quadrada de
    . Por fim, você restará com
    Como calcula a raiz quadrada de
    .

  9. 9

    Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por

    Como calcula a raiz quadrada de
    ), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação
    Como calcula a raiz quadrada de
    . Ela é a mesma que se realiza ao se escrever
    Como calcula a raiz quadrada de
     (sendo
    Como calcula a raiz quadrada de
    ) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição .

  10. 10

    Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área

    Como calcula a raiz quadrada de
    até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar).

  11. 11

    Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (

    Como calcula a raiz quadrada de
    ) de a fim de obter
    Como calcula a raiz quadrada de
     à esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição
    Como calcula a raiz quadrada de
     (equivalente a escrever duas vezes o valor
    Como calcula a raiz quadrada de
     com duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.

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