Com os algarismos de 1 2 3 4 5 e 6 : A) Quantos números de 4 algarismos podemos formar ? B) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar tal que o último algarismo seja sempre 6? C) Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar ? D) Quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar ?
RD Resoluções
Há mais de um mês
Nesse problema de contagem, o princípio multiplicativo será usado para resolver a questão. --- Os algarismos de 1 a 6 vão formar um número com 4 algarismos. Com repetição de algarismos: 6x6x6x6 = 1296 números Sem repetição de algarismos: 6x5x4x3 = 360 números No primeiro algarismo, temos 5 opções. No segundo, 4 opções. No terceiro, 3 opções. No quarto, 1 única opção: o algarismo 6. Logo: 5x4x3x1 = 60 números Supondo que termine com o algarismo 2, temos: 5x4x3x1 = 60 números. Se terminar com o algarismo 4, teremos 60 possibilidades. Para o algarismo 6 também. Logo, podemos formar 60+60+60 = 180 números pares. No item A), calculamos todas as possibilidades de formar números de 4 algarismos sem repetição. Logo, basta subtrairmos a quantidade de números pares do total. 360 - 180 = 180 números. --- A) Com repetição, \(\boxed{1296}\) Sem repetição, \(\boxed{360}\)
B)
\[\boxed{60}\]
C)
\[\boxed{180}\]
D)
\[\boxed{180}\]
Nesse problema de contagem, o princípio multiplicativo será usado para resolver a questão.
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Os algarismos de 1 a 6 vão formar um número com 4 algarismos.
- 4 algarismos podem formar:
- Número com 4 algarismos distintos terminados com 6:
- Números pares de 4 algarismos distintos:
- Números ímpares de 4 algarismos distintos:
Com repetição de algarismos: 6x6x6x6 = 1296 números
Sem repetição de algarismos: 6x5x4x3 = 360 números
No primeiro algarismo, temos 5 opções. No segundo, 4 opções. No terceiro, 3 opções. No quarto, 1 única opção: o algarismo 6.
Logo: 5x4x3x1 = 60 números
Supondo que termine com o algarismo 2, temos:
5x4x3x1 = 60 números.
Se terminar com o algarismo 4, teremos 60 possibilidades. Para o algarismo 6 também.
Logo, podemos formar 60+60+60 = 180 números pares.
No item A), calculamos todas as possibilidades de formar números de 4 algarismos sem repetição.
Logo, basta subtrairmos a quantidade de números pares do total.
360 - 180 = 180 números.
---
A)
Com repetição, \(\boxed{1296}\)
Sem repetição, \(\boxed{360}\)
B)
\[\boxed{60}\]
C)
\[\boxed{180}\]
D)
\[\boxed{180}\]
Joao Ledo Fonseca
Há mais de um mês
Temos 6 algarismos (1,2,3,4,5 e 6) para preencher 4 posições. Sendo sem repetição de algarismos, por cada uma das quatro posições temos menos um algarismo disponivel (o usado na posição anterior) A) Podemos formar 6x6x6x6=1296 B) Se o ultimo algarismo é sempre 6, e com todos os algarismos diferentes: 5x4x3x1= 60 C) Os pares são o 2, 4 e 6 (total de 3 algarismos). Usando um dos pares para a ultima posição, vem 5x4x3x3=180 D) Os impares são o 1,3 e 5 (três algarismos). Usando um deles na ultima posição, vem 5x4x3x3=180
Maria Milena Santo
Há mais de um mês
Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas
Exercicios de Análise Combinatória
Na página Análise Combinatória, você encontra a teoria necessária para resolver os exercícios aqui propostos, sendo que alguns deles possuem resposta ou alguma ajuda. Nem sempre os exercícios aparecem em ordem de dificuldade crescente.
- Se \(C(n,2)=28\), qual é o valor de \(n\)?
Resposta: \(n=8\). - Existe um número \(n\) natural tal que \(C(n,3)=C(n,2)\)?
- Usando o desenvolvimento binomial de \((1+1)^n\), demonstrar que:
\(C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n\)
- Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que:
\((p+1)C(n,p+1)=(n-p)C(n,p)\)
- Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
\(n \cdot C(n-1,p)=(n-p) \cdot C(n,p)\)
- Se \(A(n,2)=42\), qual é o valor de \(n\)?
Resposta: \(n=7\). - Justificar a afirmação: Se \(n\) é um número primo e \(p<n\), então \(n\) é um divisor de \(C(n,p)\).
- Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
\(2{\cdot}4{\cdot}6{\cdot}8{\cdot}10·...2n=(2n)n!\)
- Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
\(1{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}9\cdots{\cdot}(2n-1)=\dfrac{(2n)!}{2^n n!}\)
- Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
\(2{\cdot}6{\cdot}10{\cdot}14{\cdot}18{\cdot}22\cdots{\cdot}(4n-2)=\dfrac{(2n)!}{n!}\)
- Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que para \(k\leq p\) vale a igualdade
\(A(n,k)=\dfrac{A(n,p)}{A(n-k,p-k)}\)
- Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que para \(k \leq n\), vale a igualdade: \(Pr(n;k+(n-k))=C(n,k)\).
- Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para mostrar que:
\(1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+n(n!)=(n+1)!-1\)
- Demonstrar que para todo número \(k\) natural: \(\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!} =\dfrac{k}{(k+1)!}\).
- Demonstrar que:
\(\dfrac{1/2!+2/3!+3/4!+...+n}{(n+1)!}=\dfrac{1}{(n+1)!}\)
Auxílio: Como esta é uma série telescópica, em que cada termo pode ser escrito como a diferença de dois outros que se anulam em sequência, basta usar o fato que para todo \(k\leq n\), vale a relação: \(\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}\). - Demonstrar que:
\(A(n,p) = p[A(n-1,p-1)+A(n-2,p-1)+...+A(p-1,p-1)]\)