Seja um triângulo equilátero de lado 8 cm qual sua área 1 6 3 cm 2 16 3 cm 2 8 3 cm 2 8 3 cm 2

A área do triângulo é a medida da sua superfície e utiliza como unidade de medida qualquer medida de comprimento elevada ao quadrado, por exemplo os metros quadrados, centímetros quadrados etc. De forma geral, a área de um triângulo consiste na metade da multiplicação da base pela altura.

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Como calcular a área de um triângulo?

O triângulo é o polígono mais simples que existe, porém isso não diminui a importância dele, já que pode ser muito explorado em diversas áreas da matemática e também da física. Embora existam algumas fórmulas diferentes para triângulos equiláteros e retângulos, o cálculo da área de um triângulo qualquer necessita basicamente conhecer o valor da base (b) e da altura (h).

A→ área

b → base

h→ altura

Calcule a área do triângulo a seguir:

De modo geral, essa fórmula é eficiente para calcular área de todos os triângulos, como o triângulo escaleno, isósceles e equilátero.

A área de um triângulo retângulo é bastante parecida com a área de um triângulo qualquer, porém, nesse caso específico, a altura coincide com um dos seus lados, logo, a base e a altura coincidem com os catetos (os lados menores) do triângulo retângulo. Apenas no triângulo retângulo é possível calcular o valor da área multiplicando os lados perpendiculares. Sejam a e b os catetos, como na imagem a seguir, é possível calcular a área a partir da multiplicação dos catetos dividido por 2.

Um triângulo retângulo possui lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm. Qual é a área desse triângulo?

Para calcular a área do triângulo, precisamos identificar os dois catetos. A hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre o maior lado, logo ela mede 10 cm. Então, os catetos medem 6 cm e 8 cm.

Veja também: Cone – sólido geométrico formado a partir da rotação de um triângulo

Área do triângulo equilátero

Sabe-se que o triângulo equilátero possui todos os lados congruentes, ou seja, que possuem a mesma medida. O triângulo equilátero é um caso especial de triângulo que possui fórmula específica para o cálculo da área. Em um triângulo equilátero, é possível calcular sua área conhecendo somente o valor de um lado. Isso acontece porque o triângulo equilátero possui todos os seus ângulos medindo 60º.

Encontre a área do triângulo equilátero, cujo lado mede 6 cm.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Um terreno será divido em três partes para a construção de um jardim. A área em verde será preenchida com grama, conforme a imagem a seguir:

Sabendo que a grama custa R$9,00 o metro quadrado e que essa região retangular possui lados medindo 14m e 6m, qual será o valor gasto com a grama?

A) R$ 399,00

B) R$ 400,00

C) R$ 798,00

D)R$ 800,00

Resolução

Alternativa A

1º passo: calcular a área do triângulo, sabendo que a base mede 14 metros e a altura mede 6 metros

2º passo: Calcular o valor gasto

9,50 · 42 = 399,00

Questão 2 - Qual é a área aproximada de um triângulo equilátero que possui lado medindo 5 cm?

A) 41,9 cm²

B) 41,6 cm²

C) 20,9 cm²

D) 20,8 cm²

Resolução

Alternativa D

Realizando o arredondamento, o valor mais próximo da área é 20,8 cm² .

O triângulo é uma das formas geométricas mais importantes, apresentando aplicações em diversas áreas do conhecimento, como engenharia e arquitetura. Devido à sua rigidez, o triângulo é usado em estruturas metálicas e madeiramento de telhados, garantindo segurança nas construções. É uma figura que sempre intrigou filósofos e matemáticos de todas as épocas, que acabaram realizando vários estudos sobre esse polígono com o menor número de lados. Hoje sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180o, que a soma das medidas de dois de seus lados é maior ou igual à medida do terceiro, e que sua área equivale à metade do produto da base pela altura. Vamos determinar a fórmula para o cálculo da área de um triângulo equilátero em função apenas da medida de seus lados.

Dessa forma, considere um triângulo equilátero de lado l, como mostra a figura.

Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por:

Vamos chamar a base de b e a altura de h. No triângulo equilátero, b = l e a altura é, ao mesmo tempo, mediatriz e bissetriz. Dessa forma, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para determinar a altura em função do lado l.

Que é a fórmula para o cálculo da área do triângulo equilátero em função apenas da medida do lado.

Exemplo 1. Qual a área de um triângulo equilátero de lado 5 cm?

Solução: Sabemos que l = 5cm. Assim,

Exemplo 2. Um triângulo equilátero possui área de 16√3 cm2. Determine a medida do lado desse triângulo.

Solução: Temos que A = 16√3 cm2. Logo,

Portanto, os lados desse triângulo medem 8 cm.

Exemplo 3. Determine a medida da altura de um triângulo equilátero de área 25√3 cm2.

Solução: Podemos determinar a altura do triângulo equilátero se as medidas de seus lados forem conhecidas. Assim, vamos encontrar a medida do lado utilizando a área que foi dada pelo exercício.

Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto:

O triângulo equilátero é um caso particular de triângulo estudado na geometria plana. Um triângulo é considerado equilátero quando ele possui todos os seus lados congruentes, ou seja, todos os lados têm a mesma medida. Quando um triângulo é equilátero, ele apresenta todas as propriedades de um triângulo qualquer e, além disso, apresenta algumas propriedades que são específicas do seu tipo.

O triângulo equilátero também possui todos os ângulos congruentes e, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede 60º. Para calcular a área e a altura de um triângulo equilátero, existem fórmulas específicas em que é necessário conhecer apenas a medida do lado desse triângulo.

Leia também: Qual é a condição de existência de um triângulo?

Propriedades do triângulo equilátero

O triângulo equilátero é um caso particular de triângulo estudado na geometria plana. O triângulo é um polígono que possui três lados e é classificado como equilátero quando ele tem todos os lados congruentes, ou seja, com a mesma medida.

Como consequência dos lados congruentes, esse polígono também apresenta os seus três ângulos congruentes e, pelo fato de em triângulo qualquer a soma dos ângulos internos ser sempre igual a 180º, cada um dos ângulos internos de um triângulo equilátero é igual a 60º.

Ao traçarmos a altura de um triângulo equilátero, esse segmento de reta também será bissetriz do ângulo, dividindo o ângulo em duas partes iguais. A altura também é mediana, dividindo a base do triângulo em duas partes congruentes.

Altura do triângulo equilátero

Para calcular o valor da altura de um triângulo equilátero, utilizamos a seguinte fórmula:

Demonstração:

Ao traçarmos a altura, dividimos o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos. Como a altura é mediana, a base vai ser dividida ao meio. Assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras nesse triângulo, isolando a altura.

Analisando o triângulo destacado:

Exemplo 1:

Qual é a altura do triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm?

Para encontrar o valor da altura desse triângulo equilátero, basta substituir na fórmula:

l = 20

Exemplo 2:

Um triângulo equilátero possui altura igual a 12 cm. Qual é a medida do seu lado?

l = 8√3 cm

Veja também: Trapézio – quadrilátero que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos

Área do triângulo equilátero

A área de um triângulo, de uma maneira geral, é calculada a partir do produto da base pela altura dividido por 2. Quando analisamos, de forma específica, é possível deduzir uma fórmula que calcule a área do triângulo equilátero, tendo apenas a informação da medida do lado desse polígono.

 A fórmula para calcular a área do triângulo equilátero é:

Demonstração:

Exemplo:

Calcule a área de um triângulo retângulo que possui o lado igual a 10 cm.

Perímetro do triângulo equilátero

O perímetro de qualquer polígono é igual à soma de todos os seus lados. Como os lados são congruentes, então o perímetro de um triângulo equilátero é dado por:

P = 3l

Exemplo:

Qual é o perímetro do triângulo equilátero que possui o lado medindo 8 cm?

P = 3l

P = 3·8

P = 24 cm

Veja também: O que são polígonos convexos?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um triângulo equilátero possui lados medindo 2x + 10, y + 3 e 5x + 1. O valor de x + y é igual a:

A) 3

B) 8

C) 13

D) 15

E) 16

Resolução

Alternativa E.

Por ser um triângulo equilátero, então os lados são congruentes.

Logo:

2x + 10 = 5x + 1

2x – 5x = 1 – 10

– 3x = – 9   ( – 1)

3x = 9

x = 9/3

x = 3

Sendo x = 3, então o lado do triângulo é:

l = 2x + 10

l = 2·3+10

l = 6 + 10

l = 16

Para encontrar o valor de y, sabemos que:

y+3 = 16

y = 16 – 3

y = 13

Agora calculando o valor de x + y :

13 + 3 = 16

Questão 2 – A área, em metros quadrados, limitada por um triângulo equilátero com lados medindo 8 metros é igual a:

(Use √3 = 1,7)

A) 27,2

B) 25,3

C) 24,8

D) 21,1

E) 16,0

Resolução

Alternativa A.

Para encontrar a área, basta substituir os valores dados na fórmula: