Relações entre coeficientes e raízes exercícios resolvidos

01) A equação 6x² - 8x - 3 = 0 apresenta duas raízes diferentes. Sem resolver a equação,
determine a soma e o produto dessas duas raízes.

Resolução:

S = -b/a P = c/a
S = 8/6 P = -3/6
S = 4/3 P = -1/2

02) Dada a equação 3x² - 10x - 8 = 0, determine a soma dos inversos das raízes dessa
equação, sem resolvê-la.

Resolução:
1/x' + 1/x" = (x' + x")/ x'.x"
S/P
(10/3)/(-8/3) = - 10/8 = - 5/4

03) Consideremos a equação 12x² - ( m + 2 )x - 1 = 0, em que a soma das raízes é igual
a 5/6. Nessas condições, determine o valor de m.

Resolução:

S = -b/a
5/6 = m + 2
6m + 12 = 5
6m = 5 - 12
6m = - 7
m = -7/6

04) Determine o valor de p na equação 10x² - 2x + 3p - 2 de modo que uma raiz seja
igual ao inverso da outra.

Resolução:
x' = 1/x" 1 = x'.x"
1 = (3p - 2)/10
10 = 3p - 2
10 + 2 = 3p
3p = 12
p = 12/3
p = 4

05) Determine a soma dos quadrados das raízes da equação x² + 5x + 6 = 0, sem resolver
a equação.

Resolução:
S = -b/a S = - 5
P = c/a P = 6

06) Calcule a soma e o produto das raízes reais de cada uma das seguintes equações,
sem resolvê-las:

a) x² + 2x - 8 = 0 S = -2 P = -8

b) 6x² - 4x - 9 = 0 S = 4/6 = 2/3 P = - 9/6 = -3/2

c) 12x² - 6x - 1 = 0 S = 6/12 = 1/2 P = -1/12

d) 100x² - 20x + 1 = 0 S = 20/100 = 1/5 P = 1/100

07) A equação x² - 6x - 16 = 0 tem duas raízes reais diferentes. Nessas condições
determine o valor de:

a) x' + x" S = 6

b) x' . x" P = -16

c) 1/x' + 1/x" x" + x'/x'x" S/P -6/16 = -3/8

08) Os números reais x' e x são as raízes da equação 2x² - 7x + 6 = 0. Nessas condições,
sem resolver a equação, determine o valor da expressão ( x' + x") + x' . x" ).

Resolução:
Soma + produto
S + P
7/2 + 6/2
3,5 + 3
6,5 ou 65/10 = 13/2
09) dada a equação 4x² - 5x + c = 0, determine o valor do coeficiente c para para que o
produto das raízes dessa equação seja igual a -3/2.

Resolução:
P = c/a
- 3/2 = c/4
2c = - 12
c = -12/2
c = - 6

10) Dada a equação 2x² - 10x + 5 = 0, sendo o S o número que expressa a soma das
raízes e o P o número que expressa o produto dessas raízes, determine o valor da razão S/P.

Resolução:S = 10/2 P = 5/2
S = 5 P = 2,5

S/P 5/2,5 = 2

Page 2

Você está em Ensino fundamental > Equações do 2º grau ▼

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a

0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:

Observe as seguintes relações:

Soma das raízes (S)

Produto das raízes (P)

Como

,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2  + x - 2 = 0.
Solução
Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.
A soma das raízes é igual a
.     O produto das raízes é igual a
.

Assim:
                                   Assim:

Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.
Solução
Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.
S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

Como referenciar: "Equações do 2º grau" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 15/06/2022 às 08:58. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_8.php