Raiz enésima de um número real (exercícios resolvidos 9 ano)

A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.

Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos.

Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?

Representação de uma radiciação

Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação:

√ → radical

a→ radicando

b→ raiz

n→ índice

Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional.

Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número.

Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja:

estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.

Exemplos:

Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?

Propriedades da radiciação

As propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.

A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando.

A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas.

A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor.

Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.

Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical.

A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência.

A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador:

Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação?

Simplificação de radicais

Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos.

Exemplo:

Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.

Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.

360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180;   90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;

  45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;

Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como:

360= 2² · 2 · 3² · 5

Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:

Operações com radicais

A adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:

√2 + √3 ≠ √5

Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo:

√2 + √2 = 2√2

Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas.

Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação:

√72 - √50

Sabemos que

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

72 = 2² · 2 · 3²

e também podemos reescrever o 40 como:

50 = 2 · 5 · 5

50 = 2 · 5²

Então teremos:

Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação.

Exemplo:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:

Resolução

Alternativa B.

Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito.

a) → 2ª propriedade

b) → Não é uma propriedade da radiciação.

c) → 5ª propriedade

d) → 1ª propriedade

Questão 2 -  (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é:

Resolução

Alternativa C.

Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido.

Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática.

Questão 1

Fatore o radicando de

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Resposta correta: 12.

1º passo: fatorar o número 144

2º passo: escrever 144 na forma de potência

Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24

Portanto,

3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada

Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é podemos eliminar a raiz e resolver a operação.

Qual o valor de x na igualdade ?

a) 4 b) 6 c) 8

d) 12

Questão 3

Simplifique o radical .

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Resposta correta: .

Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical.

Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.

Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:

Como , simplificamos a expressão.

Questão 4

Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para:

a)

b)

c)

d)

Questão 5

Reescreva os radicais ; e de forma que os três apresentem o mesmo índice.

Questão 6

Qual o resultado da expressão ?

a)

b)

c)

d)

Racionalize o denominador da expressão .

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Resposta correta: .

Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando:

.

Sendo assim, para racionalizar o denominador o primeiro passo é calcular o fator.

Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão.

Portanto, racionalizando a expressão temos como resultado .

Questão 8

Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a cm³.

Questão 9

Sendo e determine o valor de .

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Resposta:

Substituindo os valores de a e b na equação, temos:

Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125.

Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como ao invés de . Isto irá ajudar a simplificação.

Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará:

Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,

Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,

Questão 10

Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.

(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes:

I.

II.

III. Efetuando-se , obtém-se um número múltiplo de 2.

Assinale a alternativa CORRETA.

a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Todas são falsas. d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.

e) Apenas II e III são verdadeiras.

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Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras.

Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras.

I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos.

Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração.

Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número.

Portanto, a afirmação é verdadeira.

II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses.

Neste caso, a afirmação é falsa.

III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos.

Assim, temos:

Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira.

Questão 12

(CEFET/MG - 2018) Se , então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é

a)
b) c) 3

d) 0

Questão 13

(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se , então o valor de A2 é:

a) 1 b) 2 c) 6

d) 36

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Alternativa correta: b) 2

Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:

Agora, vamos elevar o A ao quadrado:

Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:

Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação:

Questão 14

(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração é proporcional à fração , é correto afirmar que y é igual a:

a) 1 - 2
b) 6 + 3
c) 2 -
d) 4 + 3
e) 3 +

Questão 15

(CEFET/RJ - 2015) Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?

a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3

d) 1,4

Questão 16

(IFCE - 2017) Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos

a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48.

e) 0,25.

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Alternativa correta: e) 0,25

Para encontrar o valor da expressão, iremos racionalizar o denominador, multiplicando pelo conjugado. Assim:

Resolvendo a multiplicação:

Substituindo os valores da raízes pelos valores informados no enunciado do problema, temos:

Questão 17

(CEFET/RJ - 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?

a) 2700 b) 2800 c) 2900

d) 3000

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Alternativa correta: a) 2700

Primeiro, vamos escrever 0,75 na forma de fração irredutível:

Iremos chamar de x o número procurado e escrever a seguinte equação:

Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos:

Questão 18

(EPCAR - 2015) O valor da soma é um número

a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro

d) irracional.

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Alternativa correta: b) natural maior que 10.

Vamos começar racionalizando cada parcela da soma. Para isso, iremos multiplicar o numerador e o denominador das frações pelo conjugado do denominador, conforme indicado abaixo:

Para efetuar a multiplicação dos denominadores, podemos aplicar o produto notável da soma pela diferença de dois termos.

S = 2 - 1 + 14 = 15

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Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.