A área de figuras planas representa a medida da extensão que a figura ocupa no plano. Como figuras planas podemos citar o triângulo, o retângulo, o losango, o trapézio, o círculo, entre outras. Show Aproveite as questões abaixo para verificar seus conhecimentos sobre esse importante assunto da geometria. Questões de Concursos ResolvidasQuestão 1(Cefet/MG - 2016) A área quadrada de um sítio deve ser dividida em quatro partes iguais, também quadradas, e, em uma delas, deverá ser mantida uma reserva de mata nativa (área hachurada), conforme mostra a figura a seguir.  Sabendo-se que B é o ponto médio do segmento AE e C é o ponto médio do segmento EF, a área hachurada, em m2, mede a) 625,0. b) 925,5. c) 1562,5. d) 2500,0.
Alternativa correta: c) 1562,5. Observando a figura, notamos que a área hachurada corresponde à área do quadrado de lado 50 m menos a área dos triângulos BEC e CFD. A medida do lado BE, do triângulo BEC, é igual a 25 m, pois o ponto B divide o lado em dois segmentos congruentes (ponto médio do segmento). O mesmo acontece com os lados EC e CF, ou seja, suas medidas também são iguais a 25 m, pois o ponto C é o ponto médio do segmento EF. Assim, podemos calcular a área dos triângulos BEC e CFD. Considerando um dois lados conhecidos como a base, o outro lado será igual a altura, pois os triângulos são retângulos. Calculando a área do quadrado e dos triângulos BEC e CFD, temos: Portanto, a área hachurada, em m2, mede 1562,5. Questão 2(Cefet/RJ - 2017) Um quadrado de lado x e um triângulo equilátero de lado y possuem áreas de mesma medida. Assim, pode-se afirmar que a razão x/y é igual a:
Alternativa correta: A informação dada no problema é que as áreas são iguais, ou seja:
A área do triângulo é encontrada multiplicando a medida da base pela medida da altura e dividindo o resultado por 2. Sendo o triângulo equilátero e o lado igual a y, o valor da sua altura é dado por: Portanto, pode-se afirmar que a razão x/y é igual a . Questão 3(IFSP - 2016) Uma praça pública em forma de circunferência tem raio de 18 metros. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta sua área. a) 1.017,36 m2
Alternativa correta: a) 1 017, 36 m2. Para encontrar a área da praça, devemos utilizar a fórmula da área do círculo: A = π.R2 Substituindo o valor do raio e considerando π = 3,14, encontramos: A = 3,14 . 182 = 3,14 . 324 = 1 017, 36 m2 Portanto, a área da praça é de 1 017, 36 m2. Questão 4(IFRS - 2016) Um retângulo tem dimensões x e y, que são expressas pelas equações x2 = 12 e (y - 1)2 = 3. O perímetro e a área deste retângulo são, respectivamente a) 6√3 + 2 e 2 + 6√3 b) 6√3 e 1 + 2√3 c) 6√3 + 2 e 12 d) 6 e 2√3 e) 6√3 + 2 e 2√3 + 6
Alternativa correta: e) 6√3 + 2 e 2√3 + 6. Primeiro vamos resolver as equações, para encontrar os valores de x e y: x2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3 (y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1 O perímetro do retângulo será igual a soma de todos os lados: P = 2.2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2 Para encontrar a área, basta multiplicar x.y: A = 2√3 . (√3 + 1) = 2√3 + 6 Portanto, o perímetro e a área do retângulo são, respectivamente, 6√3 + 2 e 2√3 + 6. Questão 5(Aprendiz de Marinheiro - 2016) Analise a figura a seguir: Sabendo que EP é o raio da semicircunferência de centro em E, como mostra a figura acima, determine o valor da área mais escura e assinale a opção correta. Dado: número π=3 a) 10 cm2
Alternativa correta: b) 12 cm2. A área mais escura é encontrada somando-se a área da semicircunferência com a área do triângulo ABD. Vamos começar calculando a área do triângulo, para isso, note que o triângulo é retângulo. Vamos chamar o lado AD de x e calcular a sua medida através do teorema de Pitágoras, conforme indicado abaixo: 52= x2 + 32 x = 4 Conhecendo a medida do lado AD, podemos calcular a área do triângulo:
Precisamos ainda, calcular a área da semicircunferência. Note que o seu raio será igual a metade da medida do lado AD, assim, r = 2 cm. A área da semicircunferência será igual a:
A área mais escura será encontrada fazendo-se: AT = 6 + 6 = 12 cm2 Portanto, o valor da área mais escura é 12 cm2. Questão 6(Enem - 2016) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura. Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a a) 7,5 e 14,5 b) 9,0 e 16,0 c) 9,3 e 16,3 d) 10,0 e 17,0 e) 13,5 e 20,5
Alternativa correta: b) 9,0 e 16,0. Como a área da figura A é igual a área da figura B, vamos primeiro calcular esta área. Para isso, vamos dividir a figura B, conforme imagem abaixo: Note que ao dividir a figura, temos dois triângulos retângulos. Sendo assim, a área da figura B será igual a soma das áreas desse triângulos. Calculando essas áreas, temos: Sendo a figura A um retângulo, sua área é encontrada fazendo-se: AA = x . (x + 7)= x2 + 7x Igualando a área da figura A com o valor encontrado para a área da figura B, encontramos: x2 + 7x = 144 Vamos resolver a equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara:
Como uma medida não pode ser negativa, vamos considerar apenas o valor igual a 9. Portanto, a largura do terreno da figura A será igual a 9 m e o comprimento será igual a 16 m (9+7). Portanto, as medidas do comprimento e da largura devem ser iguais, respectivamente, a 9,0 e 16,0. Questão 7(Enem - 2015) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura. O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em a) 8 π b) 12 π c) 16 π d) 32 π e) 64 π
Alternativa correta: a) 8 π. A ampliação da medida da área de cobertura será encontrada diminuindo-se as áreas dos círculos menores do círculo maior (referente a nova antena). Como a circunferência da nova região de cobertura tangencia externamente as circunferências menores, seu raio será igual a 4 km, conforme indicado na figura abaixo: Vamos calcular as áreas A1 e A2 dos círculos menores e a área A3 do círculo maior: A1 = A2 = 22 . π = 4 π A medida da área ampliada será encontrada fazendo-se: A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π Portanto, com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em 8 π. Questão 8(Enem - 2015) O esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas. Visando atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das diferentes ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II. Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um(a) a) aumento de 5 800 cm2.
Alternativa correta: a) aumento de 5 800 cm². Para descobrir qual foi a alteração na área ocupada, vamos calcular a área antes e depois da alteração. No cálculo do esquema I, utilizaremos a fórmula da área do trapézio. Já no esquema II, usaremos a fórmula da área do retângulo. A alteração da área será então: A = AII- AI Portanto, após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um aumento de 5 800 cm². Exercícios propostos (com resolução)Questão 9Ana decidiu construir uma piscina retangular em sua casa com as medidas 8 m de base por 5 m de altura. Ao redor dela, em forma de trapézio, foi preenchido com grama. Sabendo que a altura do trapézio é 11 m e as suas bases são 20 m e 14 m, qual a área da parte que foi preenchida com grama? a) 294 m2
Alternativa correta: c) 147 m2. Como o retângulo, que representa a piscina, está inserido dentro de uma figura maior, o trapézio, vamos iniciar calculando a área da figura externa. A área do trapézio é calculada pela fórmula:
Onde, B é a medida da base maior; b é a medida da base menor; h é a altura. Substituindo na fórmula os dados do enunciado, temos: Agora, vamos calcular a área do retângulo. Para isso, precisamos apenas multiplicar a base pela altura.
Para encontrar a área coberta por grama, precisamos subtrair da área do trapézio o espaço ocupado pela piscina.
Portanto, a área preenchida com grama foi de 147 m2. Veja também: Área do Trapézio Questão 10Para reformar o telhado de seu armazém, Carlos decidiu comprar telhas colonial. Utilizando este tipo de cobertura são necessárias 20 peças para cada metro quadrado de telhado. Se a cobertura do local é formada por duas placas retangulares, como na figura acima, quantas telhas Carlos precisa comprar? a) 12000 telhas b) 16000 telhas c) 18000 telhas d) 9600 telhas
Alternativa correta: b) 16000 telhas. A cobertura do armazém é feita por duas placas retangulares. Portanto, devemos calcular a área de um retângulo e multiplicar por 2. Sendo assim, a área total do telhado é 800 m2. Se cada metro quadrado necessita de 20 telhas, através de uma regra de três simples calculamos quantas telhas preenchem o teto de todo armazém. Portanto, será necessário comprar 16 mil telhas. Veja também: Área do Retângulo Questão 11Márcia gostaria de dois vasos de madeira idênticos para decorar a entrada da sua casa. Por só conseguir comprar um do que mais gostou, ela decidiu contratar um marceneiro para construir outro vaso com as mesmas dimensões. O vaso deve ter as quatro faces laterais em forma de trapézio isósceles e a base é um quadrado. Sem levar em consideração a espessura da madeira, quantos metros quadrados de madeira serão necessários para reproduzir a peça? a) 0,2131 m2
Alternativa correta: d) 0,3121 m2. Um trapézio isósceles é o tipo que possui os lados iguais e bases com medidas diferentes. Pela imagem, temos as seguintes medidas do trapézio de cada lateral do vaso: Base menor (b): 19 cm; Base maior (B): 27 cm; Altura (h): 30 cm. De posse dos valores, calculamos a área do trapézio: Como o vaso é formado por quatro trapézios precisamos multiplicar por quatro a área encontrada.
Agora, precisamos calcular a base do vaso, que é formada por um quadrado de lado 19 cm.
Somando-se as áreas calculadas chegamos a área total de madeira a ser utilizada para construir.
Entretanto, a área precisa ser apresentada em metros quadrado.
Portanto, sem levar em consideração a espessura da madeira, foram necessários 0,3121 m2 de material para fabricar o vaso. Veja também: Área do Quadrado Questão 12Para facilitar o cálculo de quantas pessoas participam de eventos públicos, geralmente, considera-se que um metro quadrado é ocupado por quatro pessoas. Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura contratou uma banda para tocar na praça localizada no centro, que possui uma área de 4000 m2. Sabendo que a praça ficou lotada, quantas pessoas aproximadamente compareceram ao evento? a) 16 mil pessoas. b) 32 mil pessoas. c) 12 mil pessoas. d) 40 mil pessoas.
Alternativa correta: a) 16 mil pessoas. Um quadrado possui quatro lados iguais e tem sua área calculada pela fórmula: A = L x L. Se em 1 m2 é ocupado por quatro pessoas, então 4 vezes a área do total da praça nos dá a estimativa de pessoas que compareceram ao evento.
Sendo assim, 16 mil pessoas participaram do evento promovido pela prefeitura. Para saber mais, veja também: |
Qual e o quadrilátero que representa a parte do telhado destacado na cor cinza
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