O cubo é um dos objetos sólidos tridimensionais mais comuns. A principal característica dos cubos é que possuem todas as faces com o mesmo comprimento. Os cubos têm 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Essas figuras têm exemplos muito comuns na vida real, como o cubo de Rubik e um dado padrão de 6 lados.
A seguir, veremos uma definição mais detalhada de cubos e usaremos diagramas para ilustrar os conceitos. Além disso, conheceremos as características mais importantes dos cubos. Finalmente, veremos as fórmulas mais importantes dessas figuras geométricas e as usaremos para resolver alguns exercícios.
O cubo é um objeto sólido tridimensional delimitado por seis faces quadradas. Três dessas faces se encontram em cada vértice. O cubo também é definido como um hexaedro, ou seja, um sólido com seis faces. Os cubos são um tipo de prismas quadrados.
Muitas vezes, a forma de um cubo é considerada um bloco, onde comprimento, altura e largura são iguais. Além disso, uma característica principal dos cubos é que eles têm 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.
Podemos distinguir esses elementos no diagrama a seguir.
Na imagem podemos ver o vértice, a face e a aresta. As faces do cubo são conectadas por quatro vértices. As arestas do cubo são conectadas em um único ponto, que é o vértice.
Como o cubo é uma figura 3D, os dois parâmetros importantes usados para medir o cubo são o volume e a área da superfície.
Características fundamentais de um cubo
A seguir estão as características mais importantes dos cubos:
- Todos os suas faces têm formato quadrado.
- Todas as faces e lados têm dimensões iguais.
- Cada uma das faces encontra quatro faces.
- Os ângulos internos do cubo são ângulos retos.
- Cada um dos vértices encontra três faces e três arestas.
- As arestas opostas são paralelas.
Fórmulas importantes de um cubo
As fórmulas de cubo mais importantes para resolver exercícios são a fórmula do volume, a fórmula da área de superfície e a fórmula diagonal.
Fórmula de volume de cubos
O volume de um cubo pode ser calculado multiplicando os comprimentos de suas três dimensões. Como todos os lados têm a mesma medida, temos:
onde, a representa o comprimento de um dos lados.
Fórmula para área de cubos
A área de cubos é a soma das áreas de todas as faces do cubo. Sabemos que temos seis faces iguais em um cubo e também que a área de uma face é igual à área de um quadrado, então temos:
onde, a é o comprimento de um dos lados.
Fórmula da diagonal de cubos
A fórmula para a diagonal de um cubo é derivada usando o teorema de Pitágoras duas vezes. Então, para simplificar, temos a seguinte expressão:
onde, d representa o comprimento da diagonal e a representa o comprimento de um dos lados.
Exemplos de problemas de cubos
Qual é o volume de um cubo que tem lados de 8 m de comprimento?
Solução: Usamos o comprimento $latex a = 8$ na fórmula do volume. Então, temos:
$latex V={{a}^3}$
$latex V={{8}^3}$
$latex V=512$
O volume do cubo é 512 m³.
Um cubo tem lados de 10 m de comprimento. Qual é a sua área de superfície?
Solução: Temos o comprimento $latex a = 10$, então usamos este valor na fórmula para a área do cubo:
$latex A_{s}=6{{a}^2}$
$latex A_{s}=6{{(10)}^2}$
$latex A_{s}=6(100)$
$latex A_{s}=600$
A área do cubo é de 600 m².
Se um cubo tem lados com comprimento de 20 m, qual é o comprimento de sua diagonal?
Solução: Usamos o comprimento $latex a = 20$ na fórmula diagonal. Então, temos:
$latex d=\sqrt{3}~a$
$latex d=\sqrt{3}(20)$
$latex d=34,64$
O comprimento da diagonal é de 34,64 m.
Veja também
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Cubos são prismas
Prisma é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional da seguinte maneira: considere um polígono qualquer A, um plano paralelo a ele e uma reta r concorrente a esse plano, o prisma é o conjunto de segmentos de reta paralelos à reta r que possuem como extremidades o polígono A e o plano paralelo a ele. É exatamente dessa maneira que os cubos são formados, por isso, eles também são prismas.
Elementos do cubo
-
faces: são os polígonos mais externos encontrados em um prisma. No cubo, todas as faces são quadradas e congruentes;
-
bases: todo prisma possui duas bases: o polígono A e o polígono paralelo a ele. No caso do cubo, ambos são quadrados;
-
faces laterais: são as faces que não são bases. No caso do cubo, também são quadrados;
-
arestas: segmentos de reta formados pelo encontro de duas faces;
-
arestas da base: segmentos de reta formados pela intersecção de uma base com uma face lateral adjacente;
-
arestas laterais: segmentos de reta formados pela intersecção de duas faces laterais;
-
vértices: são os pontos de encontro entre duas ou mais arestas;
-
diagonais: são os segmentos de reta que ligam vértices que não pertencem a uma mesma face de um cubo.
Classificação do cubo
Os cubos não podem ser classificados entre si, pois todos eles são semelhantes. Mesmo assim, é importante saber a que classificação dos prismas os cubos pertencem. Observe:
-
Prismas quadrangulares: são os prismas que possuem quadriláteros em suas bases. Esse é o caso do cubo, pois sua base é quadrada;
-
Prismas retos: são os prismas cujas arestas laterais são perpendiculares às bases. Esse também é o caso dos cubos, nos quais qualquer ângulo entre arestas adjacentes é reto;
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Prisma regular: tem como base polígonos regulares, isto é, que possuem lados e ângulos congruentes. Como o quadrado é um polígono regular, o cubo é um prisma regular;
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Paralelepípedos: são prismas quadrangulares que possuem paralelogramos como base. Esse é exatamente o caso do cubo;
-
Paralelepípedo retângulo ou bloco retangular: prisma que possui retângulos em suas bases, exatamente como os cubos;
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Cubo: prisma reto, regular e paralelepípedo retângulo em que todas as arestas possuem a mesma medida ou cujas faces são quadrados.
Área e Volume
O cálculo da área do cubo é feito pela soma das áreas de cada uma de suas faces. Como todas são quadradas, basta multiplicar a área do quadrado por 6 para obter a área do cubo.
A = 6l2
*l é a medida da aresta do cubo.
Já o volume dessa figura é obtido pelo produto da área de sua base por sua altura. Sabendo que a área da base é um quadrado e é igual a l2 e que a altura do cubo também é igual a l, basta multiplicar l2 por l para obter o volume do cubo. A fórmula para esse cálculo é a seguinte:
V = l3
Veja um exemplo:
Um monumento feito em uma praça central de uma cidade terá sua superfície revestida por material antirreflexo e será preenchido com água. Sabendo que esse monumento tem formato cúbico e que possui 1,3 metros de altura, calcule a área revestida pelo material antirreflexo e o volume de água, em metros, que será utilizado.
Para responder à primeira questão, apenas calcule a área do cubo:
A = 6l2
A = 6·1,32
A = 6·1,69
A = 10,14
Para a segunda questão, utilize a fórmula do volume do cubo.
V = l3
V = 1,33
V = 2,197 m3 de água.