O que é o produto na matematica

Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

Quadrado da soma

Os produtos entre polinômios conhecidos como quadrados da soma são os do tipo:

(x + a)(x + a)

O nome quadrado da soma é dado porque a representação por potência desse produto é a seguinte:

(x + a)2

A solução desse produto notável sempre será o polinômio a seguir:

(x + a)2 = x2 + 2xa + a2

Esse polinômio é obtido por meio da aplicação da propriedade distributiva da seguinte maneira:

(x + a)2 = (x + a)(x + a) = x2 + xa + ax + a2 = x2 + 2xa + a2

O resultado final desse produto notável pode ser usado como fórmula para qualquer hipótese em que houver uma soma elevada ao quadrado. Geralmente, esse resultado é ensinado da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo

Exemplo:

(x + 7)2 = x2 + 2x7 + 49 = x2 + 14x + 49

Observe que esse resultado é obtido pela aplicação da propriedade distributiva em (x + 7)2. Portanto, a fórmula é obtida a partir da propriedade distributiva sobre (x + a)(x + a).

Quadrado da diferença

O quadrado da diferença é o seguinte:

(x – a)(x – a)

Esse produto pode ser escrito da seguinte maneira por meio da notação de potências:

(x – a)2

O seu resultado é o seguinte:

(x – a)2 = x2 – 2xa + a2

Perceba que a única diferença entre os resultados do quadrado da soma e da diferença é um sinal negativo no termo do meio.

Geralmente, esse produto notável é ensinado da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.

Produto da soma pela diferença

É o produto notável que envolve um fator com uma soma e outro com uma subtração. Exemplo:

(x + a)(x – a)

Não há representação em forma de potência para esse caso, mas sua solução sempre será determinada pela seguinte expressão, também obtida com a técnica do quadrado da soma:

(x + a)(x – a) = x2 – a2

Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy – 4).

(xy + 4)(xy – 4) = (xy)2 – 162

Esse produto notável é ensinado da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Cubo da soma

Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato:

(x + a)(x + a)(x + a)

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira:

(x + a)3

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:

(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3

Assim, em vez de fazer um cálculo extenso e cansativo, podemos calcular (x + 5)3, por exemplo, facilmente da seguinte maneira:

(x + 5)3 = x3 + 3x25 + 3x52 + 53 = x3 + 15x2 + 75x + 125

Cubo da diferença

O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios:

(x – a)(x – a)(x – a)

Por meio da propriedade distributiva e simplificando os resultados, encontraremos o seguinte resultado para esse produto:

(x – a)3 = x3 – 3x2a + 3xa2 – a3

Vamos calcular como exemplo o seguinte cubo da diferença:

(x – 2y)3

(x – 2y)3 = x3 – 3x22y + 3x(2y)2 – (2y)3 = x3 – 3x22y + 3x4y2 – 8y3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Produto chamado de números inteiros , reais , complexos ou outros resultados de sua multiplicação . Os elementos multiplicados são chamados de fatores do produto. A expressão de um produto também é chamada de "produto", por exemplo, a escrita 3 a do triplo do número a é o produto de dois fatores, onde o símbolo da multiplicação está implícito.

A ordem em que os números reais ou complexos são multiplicados, bem como a forma como esses termos são agrupados, não importa; portanto, nenhuma troca de termos modifica o resultado do produto. Essas propriedades são chamadas de comutatividade da lei e associatividade da lei da multiplicação.

A multiplicação de objetos como vetores e matrizes ( produto de matriz , produto de tensor , etc.) não são, entretanto, comutativas.

Exemplos

Três embalagens de cinco

Se três pacotes contêm cada um cinco guloseimas , então, no total, eles contêm 3 × 5 guloseimas. Este produto de três por cinco é igual a uma soma de três termos iguais a cinco . E três vezes cinco são quinze .

Cinco voltas à direita

Na expressão francesa "  uma fração de ' tamanho único  ', a preposição "  de  "resulta na matemática por um símbolo de multiplicação . Este símbolo está implícito no produto fg, que representa a fração f da quantidade g . Produto que é igual a dois quintos de trezentos e sessenta graus se f =2/5e g = 360 °

Imagine um robô móvel, que executa caminhos retilíneos sucessivos de mesmo comprimento d . Esses caminhos parciais são representados na geometria plana por segmentos iguais sucessivos. Suponha que entre dois caminhos retos, o robô estacionário vire 144 ° sobre si mesmo . Quando se tem repetido o seguinte manobra cinco vezes: siga em frente um comprimento d , em seguida, vire à direita na própria 144 ° , ele retorna ao seu ponto de partida. Seu curso poligonal fechado é representado por um pentágono estrela regular ( símbolo Schläfli {5/2}), de perímetro 5 d ). Durante todo o seu caminho fechado, o robô gira no sentido horário em torno do centro do polígono regular, em um ângulo de 5 × 144 ° = 720 ° = 2 × 360 ° . Ele dá duas voltas completas em torno do centro do pentágono estelar.

Casos e notações simples

O princípio básico da multiplicação de números naturais inteiros é contar os elementos de uma união de n conjuntos disjuntos dois por dois ( n é o multiplicador ), quando cada conjunto contém o mesmo número p de elementos ( p é o multiplicando ) .

Vocabulário

Em um produto de dois fatores, o primeiro fator é denominado multiplicando por convenção e o segundo multiplicador . Reverter seus valores nunca muda o resultado, ao contrário de reverter o dividendo e o divisor em uma divisão .

O operador é o sinal de multiplicação "×", um ponto final . »Na linha quando o separador decimal é a vírgula [ref. necessário] e um ponto de operador "⋅" ( mediana ) quando o ponto da reta já é utilizado como separador decimal, como na convenção anglo-saxônica; na programação de computadores, as linguagens geralmente usam o asterisco "*" (sinal de estrela). É omitido quando está presente de forma inequívoca, por exemplo, em uma expressão como 3a .

Princípio para inteiros

No caso de números inteiros naturais , a multiplicação equivale a fazer adições de números idênticos. Quando dizemos, por exemplo, "cinco multiplicado por sete", significa que estamos repetindo um conjunto de cinco elementos sete vezes. Então :

Além disso, entre as diferentes propriedades algébricas da multiplicação dos números, a comutatividade pode ser explicada: a ordem dos fatores não influencia o resultado:

Essas expressões lêem respectivamente "cinco multiplicado por sete" (ou "7 vezes 5") e "sete multiplicado por cinco" (ou "5 vezes 7").

Esta operação também pode ser observada, para necessidades técnicas,

O resultado pode ser obtido:

• consultando um diretório de resultados conhecidos, como uma tabela de multiplicação  ;
• executando um algoritmo (frontal, à mão com um instrumento de escrita ou usando um computador ):
  • o algoritmo mais simplista pode ser resumido em adições sucessivas (frequente para números pequenos, mas rapidamente inutilizável),
  • para números maiores, mas ainda de tamanho razoável, existem métodos mais eficazes que fazem parte da bagagem cultural,
  • a computação moderna deu origem a técnicas ainda mais sofisticadas, algumas das quais são objetos de pesquisa.

Um número decimal é um inteiro que foi dividido por uma potência de dez (1 - é então um inteiro -, 10, 100, 1000 ...). A distributividade da multiplicação na divisão permite calcular as multiplicações de números decimais como a de números inteiros:

1. ignoramos as vírgulas e multiplicamos os números como se fossem inteiros;
2. o número de casas decimais do resultado final é a soma do número de casas decimais do multiplicando e do multiplicador.

Por exemplo, para calcular 5,3 × 0,21:

• calculamos 53 × 21, o que dá 1113;
• o multiplicando tem um dígito após o ponto decimal, o multiplicador tem dois, então o resultado tem três (1 + 2): o resultado final é 1,113.

Generalização

Mais geralmente, um produto é o resultado da composição de dois elementos de um conjunto para uma lei multiplicativa interna . Quando matrizes ou objetos de vários outros anéis são multiplicados, o produto geralmente depende da ordem dos fatores; em outras palavras, a multiplicação de matrizes e as leis de multiplicação desses outros anéis não são comutativas .

Existem generalizações e extensões do conceito de produto na matemática  :

Multiplicações respeitando a invariância das normas ("a norma do produto de dois objetos é igual ao produto de sua norma") só poderiam ser definidas para alguns objetos: números reais , complexos , quatérnions e octonions .

Produto indexado

O produto pode ser notado ∏ ( pi capital ) quando muitos fatores indexados estão envolvidos. Por exemplo, se considerarmos uma sequência , então:(vocênão)não∈NÃO{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Notas

1. ↑ O sinal de multiplicação pode ser obtido
   • em Unicode , pelo caractere U+00D7 ;
   • em HTML , pela entidade ×ou × ;
   • em LaTeX , no ambiente matemático ( $…$ou \[…\]), pelo comando \times.
2. ↑ O símbolo do "ponto do operador" pode ser obtido:
   • em Unicode , pelo caractere U+22C5 ;
   • em HTML , pela entidade ⋅ (ponto escalar) ou ⋅ ;
   • em LaTeX , por \textperiodcenterede no ambiente matemático ( $…$ou \[…\]), pelo comando \cdot.
3. ↑ No entanto, o significado da expressão (do ponto de vista prático) é um pouco diferente: em um caso há 7 montes de 5 elementos, no outro há 5 montes de 7 elementos.
4. ↑ Este sinal pode ser obtido
   • em HTML , chamando ∏  ;
   • em LaTeX , no ambiente matemático ( $… $ ou \ [… \] ), pelo comando \ prod_ { índice } ^ { expoente } .

Veja também

• Portal de Matemática