O que é a sequencia de fibonacci

Descrita pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci no final do século XII, a sequência de Fibonacci é uma sucessão de números encontrada em alguns elementos da natureza. A sucessão começa com 0 e 1 e segue com a soma dos dois números anteriores, da seguinte forma: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… A partir desta sequência é possível construir um retângulo, conhecido como Retângulo de Ouro, e também a Espiral de Fibonacci.

O italiano percebeu a sequência ao acompanhar a evolução, ao longo de um ano, de uma população de coelhos originada por um único casal. Caso nenhum coelho nesse processo, a sequência de infinita, começando com os números 0 e 1. Fibonacci observou que a quantidade de casais de coelhos cresceu segundo uma mesma ordem, mês a mês. A seguinte forma define a sequência percebida pelo matemático: Fn = Fn - 1 + Fn - 2.

A proporção áurea na sequência de Fibonacci

A partir do número 3 da sequência, é possível obter outra constante: a proporção (ou razão) áurea, utilizada na arte, na arquitetura e no design por sua agradabilidade aos olhos humanos. O valor da proporção áurea é de 1,618..., um número irracional e infinito representado pela letra grega phi. Quanto mais se avança na sequência de Fibonacci, mais a divisão entre um número e seu antecessor se aproxima desse valor.

A espiral de Fibonacci

O desenho da espiral de Fibonacci funciona assim: se o maior quadrado da ilustração tiver 1,618 centímetros de lado, então o segundo maior, à direita, terá 1 cm. Dessa forma, a divisão do tamanho de um pelo outro resulta na razão áurea. Assim, qualquer par de quadrados escolhido na espiral seguirá a mesma proporção, fazendo do desenho uma repetição contínua de si mesmo em versões que vão diminuindo de tamanho gradativamente.

Sequência e espiral de Fibonacci na natureza e na arte

A sequência de Fibonacci pode ser encontrada em alguns elementos da natureza e da arte, representada ou não através da espiral. Confira:

• Um pedaço da concha de um caramujo tem o tamanho calculado pela soma dos dois antecessores;
• Quando contraído, o rabo de um camaleão é uma das representações mais precisas da espiral de Fibonacci;
• Se as presas de marfim de um elefante crescessem sem parar teriam como formato a espiral de Fibonacci;
• As sementes de um girassol, no miolo da flor, são organizadas em dois conjuntos de espirais: 21 no sentido horário e 34 no anti-horário;
• O mesmo acontece com as sementes de uma pinha: são oito no sentido horário e 13 no anti-horário;
• Se um ser humano de estatura mediana dividir sua altura pela distância entre o umbigo e a cabeça, o resultado será em torno de 1,618;
• A sequência de Fibonacci é percebida em “Mona Lisa”, de Leonardo da Vinci, na relação entre o tronco e a cabeça da personagem retratada, assim como nos elementos do rosto;
• A proporção áurea é o resultado da razão entre as estrofes maiores e menores da “Ilíada”, poema épico de Homero sobre a Guerra de Troia;
• A largura e a altura da fachada do tempo de Partenon, construído na Grécia no século V a.C., estão na proporção de 1 para 1,618;
• Cada bloco das Pirâmides do Egito é 1,618 vezes menor do que aquele logo abaixo.

Com informações de Superinteressante

Quando estudamos sequências numéricas podemos dizer que algumas delas encontram-se na forma de uma progressão aritmética ou geométrica (P.A. e P.G.). Porém existem outros tipos de sequências ou progressões em matemática. Pela definição formal de sequência temos:

“Uma sequência numérica é uma função f, definida no conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos tal que: . Onde o n é chamado de índice e an o n-ésimo elemento da sequência, ou termo geral.”

Onde os elementos de uma sequência estão na forma:

Podemos construir diversos tipos de sequências infinitas que não estão na forma de uma P.A. ou P.G. e por consequência, nem toda sequência terá uma fórmula para determinar o seu termo geral. Mas, seguindo a definição, toda sequência possui uma lei de formação. Por exemplo, se quiséssemos construir uma sequência que sejam as aproximações por falta do número teríamos o seguinte:

• a1 = 1,4
• a2 = 1,41
• a3 = 1,414
• a4 = 1,4142
• a5 = 1,41421
• a6 = 1,414213

Como sabemos, é um número irracional e, portanto, não sabemos o seu valor tendendo ao infinito, o que torna a sequência de aproximações por falta de uma sequência infinita.

Outro exemplo de sequência é a dos números primos. É uma sequencia que não existe uma formula, mas os seus termos podem ser obtidos pela definição de números primos:

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...)

Uma sequência que é muito importante devido as suas propriedades e relações com a natureza é a sequência descoberta pelo matemático Leonardo Pisa, que ficou conhecido como Fibonacci. Para obtermos esta sequência é necessário considerar que o seu primeiro termo é igual a 1, e seguindo temos:

• a1 = 1
• a2 = a1 + anterior = 1*

* Neste caso, não possui antecessor, então ele também ocupará a segunda posição. Continuando:

• a3 = a2+a1 = 1+1 = 2
• a4 = a3+a2 = 2+1 = 3
• a5 = a4+a3 = 3+2 = 5

Se continuarmos esta operação infinitamente, obteremos a seguinte sequência:

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...)

E que por recorrência, o termo geral será dado pela seguinte lei de formação:

an = an-1 + an-2

Para homenageá-lo escrevemos, ao invés de an:

Fn = Fn-1 + Fn-2

Espiral de Fibonacci

A espiral de Fibonacci aparece quando construímos uma série de quadrados cujos lados são os números da sequência de Fibonacci. Com isso temos que cada quadrado abaixo possui um número indicando quanto vale a medida do seu lado que coincide com a sequência de Fibonacci. Construindo então, a espiral:

Este retângulo também é chamado de retângulo de ouro, e suas propriedades estão presentes em diversas formas da natureza. Encontramos a espiral nas conchas de caramujos, em algumas galáxias como a Messier 74, por exemplo:

Galáxia Messier 74. Foto: NASA/ESA.

Concha. Foto: verchik / Shutterstock.com

Muitos trabalhos em álgebra nasceram devido à curiosidade dos matemáticos em determinar estas proporções que possuem relação com a sequência de Fibonacci. Algumas destas descobertas, tais como a proporção áurea (ou o número de ouro), marcaram a história da arte e também das ciências exatas e da terra.

Um exemplo de aplicação atual dos números de Fibonacci está na análise do mercado de ações. Alguns matemáticos defendem que as flutuações do mercado financeiro obedecem um padrão de crescimento e decrescimento que acompanham a sequência de Fibonacci. Nem todas as suas propriedades e aplicações foram descobertas. O que pode garantir um ótimo tema para pesquisas futuras para aqueles que desejam enveredar-se na carreira como cientista.

Referências Bibliográficas

ÁVILA, Geraldo. Introdução à Análise Matemática. São Paulo: Blucher, 1999.