O gráfico abaixo representa qual função marque a alternativa correta A f(x cos x)

No Ensino Fundamental, funções são fórmulas matemáticas que associam cada número de um conjunto numérico (o domínio) a um único número pertencente a outro conjunto (o contradomínio). Quando essa fórmula é uma equação do segundo grau, temos uma função do segundo grau.

As funções podem ser representadas por figuras geométricas cujas definições coincidem com suas fórmulas matemáticas. É o caso da reta, que representa funções do primeiro grau, e da parábola, que representa funções do segundo grau. Essas figuras geométricas são chamadas de gráficos.

A ideia central da representação de função por um gráfico

Para desenhar o gráfico de uma função, é preciso avaliar qual elemento do contradomínio está relacionado com cada elemento do domínio e marcá-los, um a um, em um plano cartesiano. Quando todos esses pontos forem marcados, o resultado será justamente o gráfico de uma função.

Vale ressaltar que as funções do segundo grau, geralmente, são definidas em um domínio igual a todo o conjunto dos números reais. Esse conjunto é infinito e, por isso, é impossível marcar todos os seus pontos em um plano cartesiano. Desse modo, a alternativa é esboçar um gráfico que possa representar em parte a função avaliada.

Antes de qualquer coisa, lembre-se de que as funções do segundo grau possuem a seguinte forma:

y = ax2 + bx + c

Diante disso, apresentamos cinco passos que tornam possível a construção de um gráfico de função do segundo grau, exatamente como os que são exigidos no Ensino Médio.

Passo 1 – Avaliação geral da função

Existem alguns indicadores que ajudam a descobrir se o caminho certo está sendo tomado ao construir o gráfico de funções do segundo grau.

I - O coeficiente “a” de uma função do segundo grau indica sua concavidade, ou seja, se a > 0, a parábola será para cima e possuirá ponto de mínimo. Se a < 0, a parábola será para baixo e possuirá ponto de máximo.

II) O primeiro ponto A do gráfico de uma parábola pode ser facilmente obtido apenas observando o valor do coeficiente “c”. Desse modo, A = (0, c). Isso ocorre quando x = 0. Observe:

y = ax2 + bx + c

y = a·02 + b·0 + c

y = c

Passo 2 – Encontrar as coordenadas do vértice

O vértice de uma parábola é o seu ponto de máximo (se a < 0) ou de mínimo (se a > 0). Ele pode ser encontrado pela substituição dos valores dos coeficientes “a”, “b” e “c” nas fórmulas:

xv = – b
       2a

yv = – ∆
        4a

Desse modo, o vértice V é dado pelos valores numéricos de xv e yv e pode ser escrito assim: V = (xv,yv).

Passo 3 – Pontos aleatórios do gráfico

É sempre bom indicar alguns pontos aleatórios cujos valores atribuídos à variável x sejam maiores e menores que xv. Isso lhe dará pontos antes e depois do vértice e tornarão o desenho do gráfico mais fácil.

Passo 4 – Se possível, determine as raízes

Quando existem, as raízes podem (e devem) ser incluídas no desenho do gráfico de uma função do segundo grau. Para encontrá-las, faça y = 0 para obter uma equação do segundo grau que possa ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Lembre-se de que resolver uma equação do segundo grau é o mesmo que encontrar suas raízes.

A fórmula de Bhaskara depende da fórmula do discriminante. São elas:

x = – b ± √∆
     2a

∆ = b2 – 4ac

Passo 5 – Marcar todos os pontos obtidos no plano cartesiano e ligá-los, de modo a construir uma parábola

Lembre-se de que o plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares. Isso significa que, além de conter todos os números reais, essas retas formam um ângulo de 90°.

Exemplo de plano cartesiano e exemplo de parábola.

Exemplo

Construa o gráfico da função do segundo grau y = 2x2 – 6x.

Solução: Observe que os coeficientes dessa parábola são a = 2, b = – 6 e c = 0. Dessa maneira, pelo passo 1, podemos afirmar que:

1 – A parábola ficará para cima, pois 2 = a > 0.

2 – Um dos pontos dessa parábola, representado pela letra A, é dado pelo coeficiente c. Logo, A = (0,0).

Pelo passo 2, observamos que o vértice dessa parábola é:

xv = – b
      2a

xv = – (– 6)
     2·2

xv = 6
      4

xv = 1,5

yv = – ∆
        4a

yv = – (b2 – 4·a·c)
      4·a

yv = – ((– 6)2 – 4·2·0)
     4·2

yv = – (36)
         8

yv = – 36
         8

yv = – 4,5

Logo, as coordenadas do vértice são: V = (1,5, – 4,5)

Utilizando o passo 3, escolheremos apenas dois valores para a variável x, um maior e outro menor que xv.

Se x = 1,

y = 2x2 – 6x

y = 2·12 – 6·1

y = 2·1 – 6

y = 2 – 6

y = – 4

Se x = 2,

y = 2x2 – 6x

y = 2·22 – 6·2

y = 2·4 – 12

y = 8 – 12

y = – 4

Logo, os dois pontos obtidos são B = (1, – 4) e C = (2, – 4)

Pelo passo 4, que não precisa ser feito caso a função não possua raízes, obtemos os seguintes resultados:

∆ = b2 – 4ac

∆ = (– 6)2 – 4·2·0

∆ = (– 6)2

∆ = 36

x = – b ± √∆
     2a

x = – (– 6) ± √36
  2·2

x = 6 ± 6
     4

x' = 12
      4

x' = 3

x'' = 6 – 6
     4

x'' = 0

Logo, os pontos obtidos por meio das raízes, tendo em vista que, para obter x = 0 e x = 3, foi preciso fazer y = 0, são: A = (0, 0) e D = (3, 0).

Com isso, obtemos seis pontos para desenhar o gráfico da função y = 2x2 – 6x. Agora basta cumprir o passo 5 para construí-lo definitivamente.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.

As principais funções trigonométricas são:

• Função Seno
• Função Cosseno
• Função Tangente

No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.

Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos

Funções Periódicas

As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.

O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.

Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que

f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A

O menor valor positivo de p é chamado de período de f.

Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.

Função Seno

A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:

f(x) = sen x

No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.

Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.

O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.

Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 sen x 1.

Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).

O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:

Gráfico da função seno

Leia também: Lei dos Senos.

Função Cosseno

A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:

f(x) = cos x

No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.

Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.

O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.

Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 cos x 1.

Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).

O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:

Leia também: Lei dos Cossenos.

Função Tangente

A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:

f(x) = tg x

No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positiva quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.

Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.

O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.

Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.

Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(x).

O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:

Gráfico da função tangente

Leia mais sobre o tema:

Exercícios de funções trigonométricas

Exercício 1

(UFAM) O menor valor não negativo côngruo ao arco de rad é igual a:

a) π/5 rad b) 7 π/5 rad c) π rad d) 9 π/5 rad

e) 2 π rad

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: a) π/5 rad

Arcos côngruos são os que possuem a mesma localização no círculo trigonométrico, em que o maior em módulo, está adiantado ou atrasado um determinado número de voltas completas (360° ou ).

Por exemplo, 30° e 390° são côngruos pois, 30° + 360° = 390°. O mesmo exemplo em radianos fica: .

Dentre todos os côngruos de , queremos o menor que seja positivo. Subtraindo volta por volta, encontramos este valor.

Subtraindo a primeira volta ( ).

Subtraindo a segunda volta.

Se subtrairmos a terceira volta, teremos:

Neste caso, o valor já será negativo. Desta forma, concluímos que o menor valor côngruo ao arco de que seja positivo é .

(Cefet-PR) A função real f(x) = a + b . sen cx tem imagem igual a [-7, 9] e seu período é π/2 rad. Assim, a + b + c vale:

a) 13 b) 9 c) 8 d) – 4

e) 10

Exercício 3

(UFPI) O período da função f(x) = 5 + sen (3x – 2) é:

a) 3π b) 2π/3 c) 3π – 2 d) π/3 – 2

e) π/5

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.