Exercicios resolvidos de raiz quadrada nao exata

Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas.

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Exercícios de raiz quadrada resolvidos
Exercícios de raiz quadrada para resolver
Veja também

Calculando raízes

Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado.

A representação de raízes é feita da seguinte maneira:

*n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz.

Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a.

L·L·L·L...L·L = a

Raízes exatas e não exatas

Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas:

a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9

b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8

c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16

Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas:

a) Raiz quadrada de 2

b) Raiz cúbica de 3

c) Raiz quarta de 5

Cálculo de raízes não exatas

Caso 1 – Radicando primo

Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31:

Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois:

3,143 = 30,959144

Caso 2 – Radicando não primo

Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz.

Exemplo:

Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule:

Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256:

256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2

256 = 23·23·22

Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe:

Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado:

Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira:

Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação.

4·1,26·1,26 = 6,35

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Raízes quadradas são o oposto de elevar um número ao quadrado ou multiplicá-lo por ele mesmo. Por exemplo, 4 ao quadrado é igual a $latex 16({{4}^2}=16)$, então a raiz quadrada de 16 é igual a 4. Usando símbolos matemáticos, temos:

$latex \sqrt{16}=4$

O símbolo “√” nos diz que devemos calcular a raiz quadrada de um número. É importante lembrar que todos os números, na verdade, têm duas raízes quadradas. Por exemplo, quatro vezes quatro é igual a dezesseis, mas quatro negativo vezes quatro negativo também é igual a dezesseis. Então nós temos:

$latex \sqrt{16}=\pm 4$

Em alguns casos, podemos ignorar as raízes quadradas negativas dos números, mas às vezes é importante lembrar que todo número tem duas raízes quadradas.

Um dos desafios com raízes quadradas pode ser simplificar grandes raízes quadradas. Para fazer isso, temos que seguir algumas regras simples. Podemos fatorar raízes quadradas da mesma maneira que fatoramos números. Por exemplo, se temos a raiz quadrada de seis, podemos escrever o seguinte:

$latex \sqrt{6}=\sqrt{2} \sqrt{3}$

Exercícios de raiz quadrada resolvidos

Esses exercícios de raiz quadrada podem ser usados para dominar a resolução de problemas de raiz quadrada. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios antes de olhar a resposta. Nos exercícios a seguir, levamos em consideração apenas a raiz quadrada positiva do número.

Encontre o seguinte: $latex \sqrt{25}$.

Temos que encontrar um número que, quando multiplicado por ele mesmo, produz 25. A resposta é 5 porque se multiplicarmos 5 por ele mesmo, obteremos:

$latex 5\times 5=25$

Encontre a raiz quadrada de 121: $latex \sqrt{121}$.

Temos que encontrar um número que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta em 121. Esse número é igual a 11, pois quando elevamos ao quadrado 11, obtemos:

$latex {{11}^2}=121$

Encontre o seguinte: $latex \sqrt{32}$.

Neste caso, não há número inteiro que possa ser multiplicado por ele mesmo para obter 32. No entanto, podemos fatorar esta expressão e escrever da seguinte maneira:

$latex \sqrt{32}=\sqrt{16}\sqrt{2}$

Agora, podemos encontrar a raiz quadrada de 16. Sabemos que multiplicando por 4 por si só obtemos 16, então temos:

$latex \sqrt{16}\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Simplifique o seguinte: $latex \sqrt{50}$.

Nesse caso, também não há um número inteiro que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta em 50. Então, reescrevemos essa raiz quadrada da seguinte maneira:

$latex \sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{2}$

Semelhante ao problema anterior, podemos encontrar um número inteiro que resulta em 25 quando elevado ao quadrado. Este número é 5, então temos:

$latex \sqrt{25}\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

Simplifique o seguinte: $latex \sqrt{132}$.

132 é um número grande e é um pouco difícil saber o que podemos fazer. No entanto, podemos ver que é divisível por 2, então podemos escrever:

$latex \sqrt{132}=\sqrt{66}\sqrt{2}$

Também sabemos que 66 é divisível por 2, então escrevemos:

$latex \sqrt{66}\sqrt{2}=\sqrt{33}\sqrt{2}\sqrt{2}$

Se multiplicarmos a raiz quadrada de um número por ele mesmo, obteremos o número original. Então, temos:

$latex \sqrt{33}\sqrt{2}\sqrt{2}=2\sqrt{33}$

Exercícios de raiz quadrada para resolver

Pratique o que você aprendeu e teste seu conhecimento com os seguintes exercícios de raiz quadrada. Escolha uma resposta e clique em “Verificar” para verificar se você selecionou a resposta correta. Os exercícios resolvidos acima podem servir como um guia se você tiver algum problema.