Exercicios resolvidos de raiz quadrada de numeros complexos

A resolução de uma equação do 2º grau consiste em determinar os possíveis valores da incógnita em relação ao valor do discriminante. As condições para a determinação do conjunto solução são as seguintes:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas, x’ ≠ x’’. ∆ = 0, a equação possui raízes reais iguais, x’ = x’’. ∆ < 0, a equação não possui raízes reais.

Pelo conjunto dos números reais e pela regra operatória de raízes quadradas, não existe solução quando o radicando é um número negativo, isto é, não existe raiz quadrada de números negativos, pois não existe número elevado ao quadrado que resulta em negativo. Nesse caso, quando deparamos com uma equação do 2º grau, na qual o cálculo do discriminante resulta em número negativo, dizemos que não existe solução da equação pertencente aos números reais.

Essas equações, somente terão conjunto solução dentro do conjunto dos números complexos, pois nesse espaço utilizamos uma unidade imaginária, representada por i² = –1. Portanto, caso o discriminante seja negativo, utilizamos essa técnica dos números complexos. Observe:

Vamos utilizar essa característica referente à unidade imaginária dos números complexos na determinação das raízes da seguinte equação do 2º grau: 4x² – 4x + 2 = 0.

Exemplo 2

Calcular a solução da equação x² – 14x + 50 = 0, considerando o conjunto dos números complexos.

A primeira fórmula de Moivre é usada para encontrar potências de números complexos escritos na forma polar. Por sua vez, a segunda fórmula de Moivre é usada para encontrar raízes de números complexos também escritos na forma polar.

Considerando o número complexo z = a + bi e o número complexo u, tal que un = z, u é chamado raiz de z. Para encontrar seu valor, podemos usar a seguinte fórmula:

Para demonstrar essa fórmula, precisamos conhecer antes a primeira fórmula de Moivre.

Primeira fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é utilizada para potências que envolvem números complexos expressos em sua forma polar.

Dado o complexo z = p(cosθ + isenθ). A primeira fórmula de Moivre é representada por:

Demonstração da segunda fórmula de Moivre

Dado o número complexo z = a + bi, existe um número complexo u, tal que:

Nesse caso, o complexo u é chamado de raiz enésima de z.

Em sua forma polar, o número complexo z é representado da seguinte maneira:

Já o número complexo u, em sua forma polar, é representado da seguinte forma:

Sabendo que un = z e aplicando a primeira fórmula de Moivre, teremos:

Comparando as variáveis, podemos concluir que:

Das equações 4 e 5, teremos:

Para finalizar a demonstração, substitua as equações 6 e 3 na equação 2. Ao fazer isso, estamos criando um mecanismo para descobrir o número complexo u (raiz do complexo z), dado o complexo z em sua forma polar.

O valor de k deve variar de 0 até n – 1.

Exemplo

Qual é a raiz quadrada do complexo a seguir?

A raiz quadrada de um complexo é dada pela segunda fórmula de Moivre, com n = 2:

Para k = 0, teremos:

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

Os números complexos são números que apresentam a forma

Questão 1

Qual o resultado obtido com a realização da soma e da subtração, respectivamente, dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i?

a) 2 + 3i e 1 – i b) 3 + 2i e -4 – i c) 4 + 3i e 2 – i

d) 1 + 2i e -3 – i

Questão 2

Qual a forma algébrica de z no caso 3z = z - (- 8 + 6i)?

a) z = 4 – 2i b) z = 4 – 3i c) z = 2 – 2i

d) z = 1 – 2i

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Reposta correta: b) z = 4 – 3i.

A forma algébrica de z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula:

z = x + yi

Onde:

x é a parte real de z

y é a parte imaginária de z

Portanto:

Logo, a forma algébrica de z no caso 3z = z - (-8 + 6i) é z = 4 – 3i.

Questão 3

O resultado -5 - 5i é obtido realizando qual das operações abaixo com os números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = -2 + i? (Lembre-se que i2 = -1).

a) z1 + z2
b) z1 –z2
c) z1z2

O valor de z8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)

a) 3024 b) 4096 c) 5082

d) 1294

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Resposta correta: b) 4096.

Podemos representar z8 como (z2)4, pois 2.4 = 8.

Portanto, vamos começar encontrando o valor de z2.

Agora, calculamos (z2)4.

Portanto, se z = 2 - 2i então z8 é igual a 4096.

Questão 5

Quais os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5? (Lembre-se que i2 = -1).

a) -2 + i e -2 – i b) -1 + i e -1 – i c) -2 + i e -1 + i

d) -1 + 2i e -1 + i

Questão 6

Quais os valores de x para que o número complexo z = x + (x2 - 1)i seja um número real?

a) x = 1
b) x = 3
c) x = 4
d) x = 2

Questão 7

Quais os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y – 1)i = 8 + 5i seja verdadeira?

a) x = 4 e y = 6 b) x = 2 e y = 6 c) x = 4 e y = 7

d) x = 5 e y = 9

Qual o resultado da divisão ? (Lembre-se que i2 = -1).

a) 2 – 4i b) 3 – 5i c) 5 – 2i

d) 2 – i

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Resposta correta: b) 3 - 5i.

Para efetuar a divisão de dois números complexos devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a – bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.

Então, se z = a + bi, logo z = a – bi

Portanto, o resultado da divisão é 3 - 5i, conforme a letra b.

Questão 9

(UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.

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Resposta correta: – 2 + 18i

Primeiro, devemos calcular o valor de a.c

Agora, calculamos a.c + b

Portanto, se a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , então o valor de a.c + b é igual a – 2 + 18i.

Questão 10

(FURG) Se u = 1 – 2i é um número complexo e , seu conjugado, então z = u2 + 3 é igual a:

a) – 6 – 2i b) 2i c) – 6 d) 8 + 2i

e) – 6 + 2i

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Resposta correta: b) 2i.

Primeiramente, devemos calcular o valor de u2.

Se u = 1 – 2i então o seu conjunto é = 1 + 2i e 3 = 3.(1+2i) = 3+6i

Agora, calculamos z = u2 + 3

Portanto, o resultado é 2i, conforme a letra b.

Questão 11

(UECE - 2011) Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações e . Se X = W ∪ V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a
Nota: i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1.

a) 20. b) -20. c) 4i.

d) –4i.

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Resposta correta: b) -20.

Resolução

Passo 1: determinar W

Utilizando a fórmula de Bhaskara. a = 1 b = -2

c = -1

Passo 2: determinar V

A equação é um polinômio de quarto grau e, para resolvê-lo, podemos fazer , reduzindo para uma equação do segundo grau.

a = 1 b = 13

c = 36

Como , temos:

Para y1

Para y2

Passo 3: determinar X

X é a união de W e V.

Passo 4: elevar cada elemento de X ao quadrado.

Passo 5: somar os quadrados dos elemento de X

Conclusão
A resposta é a letra b, -20.

(UFRGS - 2019)

Dados os números complexos z1 = (2, -1) e z2 = (3 , x), sabe-se que z1 ⋅ z2 ∈ R. Então x é igual a

a) − 6. b) − 3/2. c) 0. d) 3/2.

e) 6.

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Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.