Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas. Calculando raízes Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado. A representação de raízes é feita da seguinte maneira: *n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz. Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a. L·L·L·L...L·L = a Raízes exatas e não exatas Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas: a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9 b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8 c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16 Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas: a) Raiz quadrada de 2 b) Raiz cúbica de 3 c) Raiz quarta de 5 Cálculo de raízes não exatas Caso 1 – Radicando primo Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31: Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois: 3,143 = 30,959144 Caso 2 – Radicando não primo Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz. Exemplo: Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule: Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256: 256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2 1 256 = 23·23·22 Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe: Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado: Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira: Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação. 4·1,26·1,26 = 6,35 Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática
1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo: a) 100 b) 144 c) 400 d) 900 e) 441 2)Calcule:
SOLUÇÃO: Observação: existem várias maneiras de se calcular a raiz quadrada exata de um número. Na resolução do exercícios vamos usar apenas duas. Uma pelo método da fatoração, e o outra é um atalho prático e mais rápido.1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo: a) 100
Organizando os dados após a fatoração: 22 . 52 depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:
Portanto, a raiz quadrada de 100 é 10. b) 144
Organizando os dados após a fatoração: 22 . 22 . 32 depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:
Portanto, a raiz quadrada de 144 é 12. c) 400
d) 900
e) 441
Vejamos estes mesmos exercícios usando outra técnica: 1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo: a) 100 b) 144 c) 400 d) 900 e) 441
Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz de zero. Sabemos que raiz de zero é zero. logo a raiz de 100 é 10.
Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz do outro 4 que é 2. logo a raiz de 144 é 12.
Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de zero que é 0. logo a raiz de 400 é 20. Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 9, que nesse caso é o próprio 3. Calcule a raiz de zero que é 0. logo a raiz de 400 é 30. Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de 1 que é 1. logo a raiz de 400 é 21. 2)Calcule: Vamos usar a segunda técnica para encontra a solução:
Elimine o zero. Calcule a raiz de 23. Sabemos que 23 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 23 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 . Agora falta o último número. Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta. Organizando: baixe o 4 e o 2 42 Mais uma vez baixe o 4 e pergunte para o 2 quanto falta para 10. (Veja que para 10 esta faltando 8)48 A resposta pode ser 42 ou 48. Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo.422 = 1764 482 = 2304 ( resposta 48) Outra maneira de fazer a mesma verificação: Baixe 4 e multiplique pelo seu consequente, nesse caso é 5.4 . 5 = 20 Iguale o 23 do radicando com o 20 que você achou e pegunte quem é o maior.23 > 20 Como 48 é maior vai ser a resposta procurada. Logo a raiz de 42304 é 48.
Elimine o zero. Calcule a raiz de 25 é 5. A raiz quadrada de zero é 0. Resposta:a raiz quadrada de 2500 é 50.
Elimine o 6. Calcule a raiz de 17. Sabemos que 17 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 17 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 . Agora falta o último número. Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta. Vejamos 2 para 10 esta faltando 8. Sendo assim, a resposta vai ser 42 ou 48. Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo. 422 = 1764 482 = 2304A raiz quadrada de 1764 é 42. 4 . 5 =20 17 < 20 quem é o menor ( resposta 42)
Elimine o 6. Calcule a raiz de 39. Sabemos que 39 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 39 que tenha raiz exata. 36 é o número mais próximo. E a raiz de 36 é 6 . Agora falta o último número. Sabemos que a raiz de 9 é 3, mas essa pode não ser a resposta. Vejamos 3 para 10 esta faltando 7. Sendo assim, a resposta vai ser 63 ou 67. Para isso é só elevar 63 ao quadrado e 67 ao quadrado e fazer o calculo. 632 = 3964 672 = 4489A raiz quadrada de 3964 é 63. 6 . 7 = 42 39 < 42 ( quem é o menor, resposta 63). Esta segunda maneira é mais rápida e prática. Page 2 |