As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º). Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo: Sendo: a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º) b: cateto c: cateto h: altura relativa à hipotenusa m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens: Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes ( ), temos as seguintes proporções:
Usando que encontramos a proporção:
Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:
Teorema de PitágorasA mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente. Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:
Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:
Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:
Exemplos 1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo: Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y. Usando a relação: a = m + n y = 9 + 3 y = 12 Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n, assim: 2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo. Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n a = 16 + 9 = 25 Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a . m
FórmulasNa tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo. Para saber mais, leia também: Exercícios Resolvidos1) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. Nessas condições, determine: a) a medida da altura relativa à hipotenusa
a)
b)
2) Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5 |