Assim como nas equações com uma incógnita, nas equações do 1º grau com duas incógnitas, o expoente é igual 1. A diferença é apenas na quantidade de incógnitas.
Para compreender melhor esse assunto, confira uma lista com cinco exercícios resolvidos sobre equações do 1° grau com duas incógnitas.
Exercícios de equação do 1° grau com duas incógnitas
Exercício 1. Calcule uma solução da equação 4x + y = 20 quando:
a) y = 0
b) x = -2
Exercício 2. Verifique quais dos pares abaixo são soluções da equação 9x + y =1.
(0, 1) (1, 0) (1, -8) (-1, 10)
Exercício 3. Determine três pares ordenados que sejam soluções da equação x + 2y = 20.
Exercício 4. Escreva uma equação que represente a seguinte situação: o dobro de um número x diminuído de 7 é igual ao número y.
Exercício 5. Um livro tem 120 páginas. Pedro já leu x páginas e faltam y páginas para ele terminar de ler o livro. Escreva uma equação que represente essa situação.
Gabarito
Respostas do exercício 1
a) Primeiro, substituímos o valor de y por 0 na equação:
4x + y = 20
4x + 0 = 20
Depois, resolvemos a equação para encontrar o valor de x:
4x + 0 = 20 4x = 20 x = 20/4
x = 5
Então, a solução da equação é o par ordenado (0, 5).
b) Primeiro, substituímos o valor de x por -2 na equação:
4x + y = 20
4. (-2) + y = 20
Depois, resolvemos a equação para encontrar o valor de y:
4. (-2) + y = 20 -8 + y = 20 y = 20 + 8
y = 28
Então, a solução da equação é o par ordenado (-2, 28).
Respostas do exercício 2
Devemos substituir cada par ordenado na equação. Se a igualdade for verdadeira, então, o par ordenado é solução da equação.
Substituindo por (0, 1) → x = 0 e y = 1
9x + y = 1 9 . 0 + 1 = 1 0 + 1 = 1
1 = 1
Chegamos a uma igualdade verdadeira, então o par ordenado (0, 1) é solução da equação.
Substituindo por (1, 0) → x = 1 e y = 0
9x + y = 1
9 . 1 + 0 = 1
9 = 1 → Isso é um absurdo, pois 9 não é igual a 1.
Chegamos a uma igualdade que não é verdadeira. Então, o par (1, 0) não é solução da equação.
Substituindo por (1, -8) → x = 1 e y = -8
9x + y = 1 9 . 1 + (-8) = 1 9 – 8 = 1
1 = 1
Chegamos a uma igualdade verdadeira, então, o par ordenado (1, -8) é solução da equação.
Substituindo por (-1, 10) → x = -1 e y = 10
9x + y = 1 9 . (-1) + 10 = 1 -9 + 10 = 1
1 = 1
Chegamos a uma igualdade verdadeira, então, o par ordenado (-1, 10) é solução da equação.
Assim, os pares (0,1), (1, -8) e (-1, 10) são soluções da equação 9x + y = 1.
Respostas do exercício 3
Existem infinitos pares ordenados que são soluções da equação. Para encontrar um par ordenado, temos que atribuir valor para uma das incógnitas e, depois, encontrar o valor da outra.
Vamos escolher x = 0 e substituir na equação:
x + 2y = 20 0 + 2y = 20 2y = 20 y = 20 /2
y = 10
Então, o par ordenado (0, 10) é uma das soluções dessa equação.
Agora, vamos escolher y = 0 e substituir na equação:
x + 2y = 20 x + 2 . 0 = 20 x + 0 = 20
x = 20
Então, o par ordenado (20, 0) é uma das soluções dessa equação.
Por fim, vamos escolher y = 5 e substituir na equação:
x + 2y = 20 x + 2 . 5 = 20 x + 10 = 20 x = 20 – 10
x = 10
Então, o par ordenado (10, 5) é uma das soluções dessa equação.
Se você escolher outros valores, encontrará outras soluções.
Respostas do exercício 4
Vamos montar a equação por partes, a partir de cada informação dada:
O dobro de um número x → 2x
O dobro de um número x diminuído de 7 → 2x – 7
O dobro de um número x diminuído de 7 é igual a y → 2x – 7 = y
Então, a equação é: 2x – 7 = y
Respostas do exercício 5
O número de páginas do livro vai ser igual à soma do número de páginas lidas mais o número de páginas que ainda não foram lidas.
Como temos que:
x → é o número de páginas lidas
y → é o número de páginas que ainda não foram lidas
120 → é o total de páginas
Então, a equação é x + y = 120
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Os Sistemas de equações do 1º grau são constituídos por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita.
Resolver um sistema é encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas essas equações.
Muitos problemas são resolvidos através de sistemas de equações. Portanto, é importante conhecer os métodos de resolução para esse tipo de cálculo.
Aproveite os exercícios resolvidos para tirar todas as suas dúvidas em relação a este tema.
Questões Comentadas e Resolvidas
1) Aprendizes de Marinheiro - 2017
A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy é igual a:
a) -15 b) -12 c) -10 d) -4
e) - 2
Vamos começar montando as equações considerando a situação proposta no problema. Desta forma, temos:
x + 2.y = - 7 e 3.x - y = 7
Os valores de x e y devem satisfazer ao mesmo tempo as duas equações. Portanto, formam o seguinte sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema pelo método da adição. Para tal, vamos multiplicar a segunda equação por 2:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação o valor de x encontrado, temos:
1 + 2y = - 7 2y = - 7 - 1
Assim, o produto xy será igual a:
x.y = 1 . (- 4) = - 4
Alternativa: d) - 4
2) Colégio Militar/RJ - 2014
Um trem viaja de uma cidade a outra sempre com velocidade constante. Quando a viagem é feita com 16 km/h a mais na velocidade, o tempo gasto diminui em duas horas e meia, e quando á feita com 5 km/h a menos na velocidade, o tempo gasto aumenta em uma hora. Qual é a distância entre estas cidades?
a) 1200 km b) 1000 km c) 800 km d) 1400 km
e) 600 km
Sendo a velocidade constante, podemos usar a seguinte fórmula:
Então, a distância é encontrada fazendo-se:
d = v.t
Para a primeira situação temos:
v1 = v + 16 e t1 = t - 2,5
Substituindo esses valores na fórmula da distância:
d = (v + 16) . (t - 2,5)
d = v.t - 2,5v + 16t - 40
Podemos substituir v.t por d na equação e simplificar:
-2,5v +16t = 40
Para a situação em que a velocidade diminui:
v2 = v - 5 e t2 = t + 1
Fazendo a mesma substituição:
d = (v -5) . (t +1) d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5
Com essas duas equações, podemos montar o seguinte sistema:
Resolvendo o sistema pelo método da substituição, vamos isolar o v na segunda equação:
v = 5 + 5t
Substituindo esse valor na primeira equação:
-2,5 (5 + 5t) + 16 t = 40 -12,5 - 12,5t + 16 t = 40 3,5t =40 + 12,5 3,5t = 52,5
Vamos substituir este valor para encontrar a velocidade:
v = 5 + 5 . 15
v = 5 + 75 = 80 km/h
Para encontrar a distância, basta multiplicar os valores encontrados da velocidade e do tempo. Assim:
d = 80 . 15 = 1200 km
Alternativa: a) 1 200 km
3) Aprendizes de Marinheiro - 2016
Um estudante pagou um lanche de 8 reais em moedas de 50 centavos e 1 real. Sabendo que, para este pagamento, o estudante utilizou 12 moedas, determine, respectivamente, as quantidades de moedas de 50 centavos e de um real que foram utilizadas no pagamento do lanche e assinale a opção correta.
a) 5 e 7 b) 4 e 8 c) 6 e 6 d) 7 e 5
e) 8 e 4
Considerando x o número de moedas de 50 centavos, y o número de moedas de 1 real e o valor pago igual a 8 reais, podemos escrever a seguinte equação:
0,5x + 1y = 8
Sabemos ainda que foram utilizadas 12 moedas no pagamento, então:
x + y = 12
Montando e resolvendo o sistema por adição:
Substituindo o valor encontrado de x na primeira equação:
8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4
Alternativa: e) 8 e 4
4) Colégio Pedro II - 2014
De uma caixa contendo B bolas brancas e P bolas pretas, retiraram-se 15 bolas brancas, permanecendo entre as bolas restantes a relação de 1 branca para 2 pretas. Em seguida, retiraram-se 10 pretas, restando, na caixa, um número de bolas na razão de 4 brancas para 3 pretas. Um sistema de equações que permite determinar os valores de B e P pode ser representado por:
Considerando a primeira situação indicada no problema, temos a seguinte proporção:
Multiplicando "em cruz" essa proporção, temos:
2 (B - 15) = P 2B - 30 = P
2B - P = 30
Vamos fazer o mesmo para a situação seguinte:
3 (B - 15) = 4 (P - 10) 3B - 45 = 4P - 40 3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5
Juntando essas equações em um sistema, encontramos a resposta do problema.
Alternativa: a)
5) Faetec - 2012
Carlos resolveu, em um final de semana, 36 exercícios de matemática a mais que Nilton. Sabendo que o total de exercícios resolvidos por ambos foi 90, o número de exercícios que Carlos resolveu é igual a:
a) 63 b) 54 c) 36 d) 27
e) 18
Considerando x como o número de exercícios resolvidos por Carlos e y o número de exercícios resolvidos por Nilton, podemos montar o seguinte sistema:
Substituindo x por y + 36 na segunda equação, temos:
y + 36 + y = 90 2y = 90 - 36
Substituindo esse valor na primeira equação:
x = 27 + 36
x = 63
Alternativa: a) 63
6) Enem/PPL - 2015
Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros, e, ao final, recebeu R$ 100,00. Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?
a) 30 b) 36 c) 50 d) 60
e) 64
Sendo x o número de tiros que acertou o alvo e y o número de tiros errados, temos o seguinte sistema:
Podemos resolver esse sistema pelo método da adição, iremos multiplicar todos os termos da segunda equação por 10 e somar as duas equações:
Portanto, o participante acertou 30 vezes o alvo.
Alternativa: a) 30
7) Enem - 2000
Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é:
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50
e) 60
O problema indica que o número de carros roubados da marca x e y juntas equivale a 60% do total, então:
150.0,6 = 90
Considerando esse valor, podemos escrever o seguinte sistema:
Substituindo o valor de x na segunda equação, temos:
2y + y = 90 3y = 90
Alternativa: b) 30
Veja também:
Escalonamento de Sistemas Lineares
Exercícios sobre equação do 1º Grau com uma incógnita