Na matemática, o cálculo de raízes, sejam elas exatas ou não exatas, é definido como o procedimento contrário à potenciação e a operação realizada recebe o nome de radiciação.
Lê-se: raiz n-ésima de a.
Em que:
- n: índice da raiz – número natural maior ou igual a 1;
- a: radicando – número real maior ou igual a zero;
- b: raiz – número real maior ou igual a zero;
- : radical.
Exemplos:
a) , pois .
b) , pois .
c) , pois
Essas raízes são exemplos de raízes exatas, elas possuem como resultado um número racional, podendo ser decimais exatos ou dízimas periódicas.
Agora, considere calcular . Será que existe algum número racional que, ao ser elevado ao quadrado, é igual a 12?
A resposta é não, e esse é um exemplo de raiz não exata, que possui como resultado um número irracional.
No cálculo de raízes não exatas fazemos a decomposição em fatores primos do radicando. Em seguida, utilizamos algumas propriedades da radiciação para simplificar os cálculos:
Propriedade 1:
Propriedade 2:
Para mostrar como fazer isso, vamos considerar o cálculo de .
1º passo) Fatoramos o número 12, escrevendo-o como um produto entre números primos.
12 | 2 6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 12 = 2 . 2 . 3 = 2² . 3
2º passo) Substituímos 12 por 2² . 3, no radical.
3º passo) Aplicamos a propriedade 1.
4º passo) Aplicamos a propriedade 2.
Quando já não conseguimos mais simplificar, podemos utilizar aproximações. Como o valor aproximado de é 1,73, então:
Veja outros exemplos.
Exemplo 1:
Calcular .
56 = 2 . 2 . 2 . 7 = 2² . 2 . 7
⇒
⇒
⇒
⇒
Exemplo 2:
Calcular .
108 = 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 2² . 3³
⇒
⇒
⇒
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Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades.
→ Teorema fundamental da aritmética
Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número.
Exemplos:
a) 192 = 25·3
b) 75 = 3·52
c) 300 = 2·3·52
→ Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes
Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes:
A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando.
→ Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração
Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração:
Passo 1: Fatore o radicando
Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética.
Passo 2: Reagrupe os fatores primos
Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando.
Passo 3: Aplique a propriedade I
Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada.
Passo 4: Aplique a propriedade II
Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele.
Passo 5: Cálculo numérico
Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados.
Exemplo:
Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592.
Solução:
Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592:
2592|2 1296|2 648|2 324|2 162|2 81|3 27|3 9|3 3|3
1|
2592 = 25·34
Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível:
2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2
Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte:
Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19.
Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima.