Na matemática, o cálculo de raízes, sejam elas exatas ou não exatas, é definido como o procedimento contrário à potenciação e a operação realizada recebe o nome de radiciação. Lê-se: raiz n-ésima de a. Em que:
Exemplos: a) , pois . b) , pois . c) , pois Essas raízes são exemplos de raízes exatas, elas possuem como resultado um número racional, podendo ser decimais exatos ou dízimas periódicas. Agora, considere calcular . Será que existe algum número racional que, ao ser elevado ao quadrado, é igual a 12? A resposta é não, e esse é um exemplo de raiz não exata, que possui como resultado um número irracional. No cálculo de raízes não exatas fazemos a decomposição em fatores primos do radicando. Em seguida, utilizamos algumas propriedades da radiciação para simplificar os cálculos: Propriedade 1: Propriedade 2: Para mostrar como fazer isso, vamos considerar o cálculo de . 1º passo) Fatoramos o número 12, escrevendo-o como um produto entre números primos. 12 | 2 6 | 2 3 | 3 1 ⇒ 12 = 2 . 2 . 3 = 2² . 3 2º passo) Substituímos 12 por 2² . 3, no radical. 3º passo) Aplicamos a propriedade 1. 4º passo) Aplicamos a propriedade 2. Quando já não conseguimos mais simplificar, podemos utilizar aproximações. Como o valor aproximado de é 1,73, então: Veja outros exemplos. Exemplo 1: Calcular . 56 = 2 . 2 . 2 . 7 = 2² . 2 . 7 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Exemplo 2: Calcular . 108 = 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 2² . 3³ ⇒ ⇒ ⇒ Você também pode se interessar: Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades. → Teorema fundamental da aritmética Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número. Exemplos: a) 192 = 25·3 b) 75 = 3·52 c) 300 = 2·3·52 → Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes: A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando. → Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração: Passo 1: Fatore o radicando Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética. Passo 2: Reagrupe os fatores primos Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Passo 3: Aplique a propriedade I Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada. Passo 4: Aplique a propriedade II Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele. Passo 5: Cálculo numérico Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados. Exemplo: Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592. Solução: Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592: 2592|2 1296|2 648|2 324|2 162|2 81|3 27|3 9|3 3|3 1| 2592 = 25·34 Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível: 2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2 Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte: Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19. Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima. |