Durante muitos anos os matemáticos tentaram descobrir uma maneira de determinar a raiz quadrada de um número negativo. Muitos diziam ser impossível tal solução, tendo em vista as propriedades desta raiz. A raiz de um número é calculada descobrindo qual número multiplicado por ele mesmo resultada no valor da raiz. Por exemplo, sabemos que a raiz quadrada de 25 (√25) é 5, pois 5 x 5 = 25. Com base nessa propriedade, não podemos determinar a raiz de −25, pois (−5) x (−5) = + 25. Por isso, não conseguimos determinar a raiz de um número negativo por meio da referida propriedade.
Por volta do séc. XVI os matemáticos resolveram o problema da raiz de um número negativo, associando a raiz de √−1 a um número imaginário, representado pela letra i. Dessa forma, as raízes de numerais negativos poderiam ser calculadas com a associação do número imaginário e a raiz quadrada do número inteiro. Observe como resolver a raiz quadrada do número inteiro negativo, utilizando o número imaginário:
Vamos determinar a raiz quadrada de mais alguns números inteiros negativos. Observe:
Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva
A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.
Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas
Resumo sobre raiz quadrada
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A raiz quadrada é uma radiciação que possui o índice igual a 2.
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Ela é a operação inversa de uma potência de expoente 2.
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Seus elementos fundamentais são: índice, radical, radicando e raiz.
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A raiz quadrada de um número a é representada por √a.
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Pode ser exata ou não exata.
Videoaula sobre raiz quadrada
A radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada.
Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81.
O que é raiz quadrada?
A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando.
Exemplos:
√4 = 2, pois 2² = 4
√9 = 3, pois 3² = 9
√16 = 4, pois 4² = 16
√25 = 5, pois 5² = 25
Como calcular a raiz quadrada?
Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata.
Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações.
Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice
A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata.
Exemplo:
Calcule o valor da √324.
Resolução:
Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número:
Dessa forma, calcula-se:
√0 = 0
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10
Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos.
Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado.
Exemplo:
Calcule o valor da √60.
Resolução:
Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64.
√49 < √60 < √64
Calculando as raízes de 49 e 64:
7 < √60 < 8
Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8.
7,9² = 62,41
7,8² = 60,84
7,7² = 59,29
Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8.
Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso.
Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada
Questão 1
(Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.
A) 35
B) 24
C) 25
D) 17
E) 49
Resolução:
Alternativa C
Inicialmente, realizaremos a fatoração do número:
Dessa forma, temos:
√625 = √54
√625 = 5²
√625 = 25
Questão 2
Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:
I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo.
II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20.
III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3.
As afirmativas são, respectivamente:
A) V, V e V.
B) F, F e F.
C) F, F e V.
D) F, V e F.
E) V, F e V.
Resolução:
Alternativa D
I → Falsa
A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.
II → Verdadeira
Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30.
III → Falsa
3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.
Raiz quadrada de números inteiros.
São quadrados perfeitos.
Veja tabela :
n | Raiz |
0 | 0 |
1 | 1 |
4 | 2 |
9 | 3 |
16 | 4 |
25 | 5 |
36 | 6 |
49 | 7 |
64 | 8 |
81 | 9 |
100 | 10 |
121 | 11 |
144 | 12 |
169 | 13 |
196 | 14 |
225 | 15 |
n | Raiz |
256 | 16 |
289 | 17 |
324 | 18 |
361 | 19 |
400 | 20 |
441 | 21 |
484 | 22 |
529 | 23 |
576 | 24 |
625 | 25 |
676 | 26 |
729 | 27 |
784 | 28 |
841 | 29 |
900 | 30 |
Só os números quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata.
Não há quadrado perfeito que termine em 2, 3, 7, 8 ou em número ímpar de zeros.
RAIZ QUADRADA APROXIMADA.Para os números que não são quadrados perfeitos,
consideraremos uma raiz quadrada aproximada conforme veremos a seguir;
Seja , por exemplo, o número 31 ( que não é quadrado perfeito ).
Observemos que:
25 <31<36> 5 2 <31>36
Quadrado perfeito mais próximo e maior que 31
Quadrado perfeito mais próximo e menor que 31.
Daí:
5 é o maior número natural cujo quadrado é menor que 31
6 é o menor número natural cujo quadrado é maior que 31
Costuma-se tomar como raiz quadrada de um número não quadrado perfeito a raiz quadrada aproximada por falta.
está representação apresenta a aproximação com uma casa decimal
374. Raiz de um numero é um dos fatores iguais que produziram esse numero.
As raízes, bem como as potências, distinguem-se pelo seu grau como raiz quadrada ou segunda raiz, raiz cúbica ou terceira raiz, quarta, raiz, quinta, raiz, etc.
Raiz quadrada de um numero é um dos dois fatores iguais desse numero; assim a raiz quadrada de 25 é 5, porque 25 = 5 X 5.
Raiz cúbica de um numero é um dos três fatores iguais desse numero; assim a raiz cúbica de 64 é 4, porque 64 = 4 X 4 X 4.
A quarta raiz de um numero é um dos quatro fatores iguais desse numero; assim a quarta raiz de 81 é 3, porque 81 =
= 3 X 3 X 3 X 3
375. A figura
Índice é o numero escrito no ângulo do sinal radical, para mostrar o grau da raiz; assim
Nota. O sinal é uma corrupção da lettra r , inicial da palavra latina radix que significa raiz.
Na raiz quadrada escreve-se simplesmente o sinal , ficando subentendido o índice 2.
Qualquer raiz de 1 é sempre 1, porque 1 X 1 X 1 = 1.
376. Os quadrados perfeitos desde 1 até 100 são os seguintes:
Quadrados perfeitos: | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
Raizes quadradas: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Vemos aqui que desde 1 até 100 ha só dez números inteiros que são quadrados perfeitos, isto é, produtos de dois fatores iguais, e até 1000, ha só trinta e um; todos os outros números intermediários não são quadrados. Daqui se originou a divisão dos números inteiros em quadrados perfeitos e quadrados imperfeitos.
Quadrado perfeito é o numero cuja raiz quadrada pode ser exatamente determinada; assim 64 é um quadrado perfeito, porque tem uma raiz exata, que é 8.
Quadrado imperfeito é o numero cuja raiz quadrada não pode ser exatamente determinada; assim a raiz quadrada de 10 é 3, 1622 ... , isto é, um numero inteiro e uma fração. Esta raiz, por mais aproximada que seja, multiplicada por si, não produzirá exatamente o numero 10, e por isso tem o nome de raiz surda, para distingui-la da raiz exata dos quadrados perfeitos.
377. Pela simples inspeção de um numero qualquer, não podemos saber se ele é ou não quadrado perfeito, sem extrair-mos a sua raiz quadrada; temos, porém, alguns dados ou teoremas que nos fazem conhecer de antemão que certos números não são quadrados. Esses teoremas são os seguintes:
1. Teorema. Todo numero terminado em 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito. Demonstração. O algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois números iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multiplicada por si mesma. Ora o produto de dois números iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os números terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o produto de dois números iguais. |
2. Teorema. Todo numero terminado por um numero impar de cifras não é quadrado perfeito. Demonstração. Sendo um quadrado sempre o produto de dois fatores iguais, quando um fator termina em uma, duas ou mais cifras, o quadrado terá o dobro dessas cifras, e por isso elas estarão em um quadrado sempre em numero par; e assim podemos já saber de antemão que os números 1000, 400000 e 750 não são quadrados perfeitos. |
3. Teorema. Todo numero par que não for divisível por 4, não é quadrado perfeito. Demonstração. Todo o numero par é divisível por 2, e se um numero par for multiplicado por si mesmo, será divisível por 2, e por 2 X 2 = 4. Deste modo, já podemos saber que 322 e 1334 não são quadrados perfeitos. |
4. Teorema. Todo numero terminado em 5, e que nas dezenas não tem o algarismo 2, não é quadrado perfeito. Demonstração. Um numero terminado em 5 só pode ter uma raiz terminada em 5, quando tem o algarismo 2 nas dezenas, porque o produto de dois números iguais terminados em 5 finaliza sempre pelos algarismos 25. |
Extração da raiz quadrada
378. Extrair a raiz quadrada de um numero é achar o fator que, multiplicado por si, produz esse numero.
Se dividirmos um numero em classes de dois algarismos, começando pela direita, conheceremos logo quantos algarismos tem a sua raiz quadrada; assim o numero 55696 dividido em classes de dois algarismos, que são 5.56.95 mostra logo que a sua raiz quadrada tem três algarismos, porque este numero consta de três classes; o numero 8649, como consta de duas classes, que são 86.49, a sua raiz tem dois algarismos, etc. A ultima classe, que é a da esquerda, pode ter um ou dois algarismos; as outras classes devem ser sempre dois. Daqui podemos deduzir o seguinte principio:
Quantas classes tiver um numero, tantos algarismos terá a sua raiz quadrada.
Problema. Qual é a raiz quadrada de 576?
Solução analítica. O numero 576, como consta de duas classes, já sabemos que a sua raiz quadrada tem dois algarismos, sendo um das dezenas e o outro das unidades. Precisamos portanto achar o algarismo das dezenas, e depois, o algarismo das unidades.
Algarismos das dezenas. Como já demonstramos na secção 373, o numero 576, sendo quadrado perfeito, deve conter primeiro o quadrado das dezenas, segundo duas vezes o produto das dezenas multiplicadas pelas unidades, terceiro o quadrado das unidades.
Formação sintética de um quadrado 373. Um quadrado pode ser também considerado como um conjunto ou soma de parcelas diversas que conservam entre si certa relação, e que podem ser de novo desagregadas por meio de uma decomposição analítica do quadrado. As diversas partes ou elementos que constituem um quadrado e a relação que ha entre elles estão claramente indicadas no seguinte teorema: O quadrado da soma de dois numero é igual á soma do quadrado do primeiro numero, mais duas vezes o produto do primeiro multiplicado pelo segundo, e mais o quadrado do segundo. Este teorema ficará perfeitamente claro com a seguinte ilustração: Ilustração. Se tomarmos o numero 15, e o dividirmos em dois números quaisquer, como, por exemplo, 8 + 7, e seguirmos depois o processo indicado pelo theorema acima exposto, teremos o seguinte resultado:
Por uma simples inspecção, vemos que o quadrado de 15 é igual a somma das tres parcellas obtidas por meio dos numeros 8 e 7. Isto é, 15 ao quadrado = (8 X 8) + (8 X 7) + (8 X 7) + (7 X 7) ou 64 + 112 + 49 = 225. A expressão (8 X 7) + (8 X 7) pode ser simplificada ou reduzida a 2 (8 X 7) que exprime exactamente o mesmo valor, porque quer dizer duas vezes o producto de 8 multiplicado por 7, isto é, duas vezes 56 ou 2 X 56. Se dermos ao numero 15 outra formação qualquer, o resultado será o mesmo; assim
Se, em lugar de 15, operarmos com outro numero qualquer, acharemos a mesma relação entre o quadrado desse numero e as duas parcellas que o formarem. Por este processo synthetico agrupamos ou reunimos em uma somma todas as partes que formam um quadrado; e por um processo opposto, poderemos decompor ou separar novamente essas partes para, por meio dellas, achar a raiz do quadrado. Deste ultimo processo trataremos mais adiante. |
A classe da esquerda, que é 5, contém o quadrado das dezenas, porque dezenas multiplicadas por dezenas dão centenas. O quadrado perfeito mais approximado de 5 é 4, e a raiz de 4 é 2; 2 é o algarismo das dezenas da raiz. Ora o quadrado de 2 é 2 X 2 = 4, e subtrahindo 4 de 5, resta uma centena que com a classe seguinte fórma o resto 176. Como já sahiu o quadrado das dezenas, este resto deve conter duas vezes o producto das |
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Algarismos das unidades. Desde que o producto das dezenas multiplicadas por um numero inteiro de unidades nunca póde ser inferior a 10, podemos separar do resto 176 o algarismo das unidades, que é 6, para operarmos sómente com as 17 dezenas completas.
Sendo as 17 dezenas duas vezes o producto das dezenas multiplicadas pelas unidades, segue-se que se dividirmos 17 por duas vezes as dezenas, isto é, por 2 + 2 = 4, obteremos o algarismo das unidades. Ora, 17 / 4 = 4, portanto 4 é o algarismo das unidades da raiz.
Resta agora verificar se o resto 176 contém 2 (20 X 4) = 160, mais 4 X 4 = 16. Ora 160 + 16 = 176, e do resto 176 subtrahindo 176, nada resta.
Fica, portanto, demonstrado que 576 é um quadrado perfeito, e que a sua raiz quadrada é 24.
Fonte: Professor Valdir Paes
Adaptado : Professor - Roberto Carvalho .
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