Como resolver uma equação modular dentro de uma raiz quadrada

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Representação gráfica
Equação Modular
Inequação Modular
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos

* * Módulo e Equação Modular (valor absoluto) | ? | * 0 4 -4 R 4 unidades 4 unidades -1 -2 -3 2 1 3 * Definição * Definição * Propriedades * Propriedades * Propriedades * Definição * Inequação modular * Inequação modular * Inequação modular * Equação modular * Equação modular Duas condições ou * Equação modular * Equação modular * Equação modular Falso... Não serve como resposta * Equação modular Correto... Serve como resposta * Equação modular * Equação modular * Equação modular * Equação modular * * Módulo (ou valor absoluto) de um número O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira: Então:  se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15  se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20 * Módulo (ou valor absoluto) de um número O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim: ->Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a  -a < x < a. -> Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a  x > a ou x < -a. * Equações Modulares Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Exemplos: | x2-5x | = 1 | x+8 | = | x2-3 | * Módulo (ou valor absoluto) de um número 2) ) Resolver a equação |x - 6| = |3 - 2x|. Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x - 6 = 3 - 2x caso 2: x - 6 = -(3 - 2x) Resolvendo o caso 1: x - 6 = 3 - 2x  x + 2x = 3 + 6  3x = 9  x = 3 Resolvendo o caso 2: X - 6 = -(3 - 2x)  x - 2x = -3 + 6  -x = 3  x = -3 Resposta: S = {-3, 3} 1) Resolvendo o caso 1: x2 - 5x - 6 = 0 => x’ = 6 e x’’ = -1. Resolvendo o caso 2: x2 - 5x + 6 = 0 => x’ = 3 e x’’ = 2. Resposta: S={-1, 2, 3, 6} Algumas equações modulares resolvidas: 1) Resolver a equação | x2-5x | = 6. Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x2 - 5x = 6 caso 2: x2 - 5x = -6 * Inequações Modulares Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Algumas inequações modulares resolvidas: 1) Resolver a inequação |-2x+6|< 2. Resolução: S = {x  IR | 2<x<4} * 1) Dê o conjunto solução da inequação |x2 - 2x + 3|  4. Resolução: |x2 - 2x + 3|  4 => -4  x2 - 2x + 3  4. Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): Eq.1: -4  x2 - 2x + 3 Eq.2: x2 - 2x + 3  4 Resolvendo a Eq.1: -4  x2 - 2x + 3 => -4 - 3  x2 - 2x => -7  x2 - 2x => x2 - 2x + 7  0 sem raízes reais Resolvendo a Eq.2: x2 - 2x + 3  4 => x2 - 2x - 1  0 Inequações Modulares * Módulo e Raiz Quadrada Consideremos os números reais x e y. se e somente se, y2 = x e y0. Daí podemos concluir que só é verdadeiro se x0. Se tivermos x<0, não podemos afirmar pois isso contradiz a definição. Por exemplo, se x=-3, teríamos: o que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando a definição de módulo, podemos escrever: o que é verdadeiro para todo x real. * Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par: Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever: Módulo e Raiz Quadrada * Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por: Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.  Determinação do domínio Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: Função Modular * Função Modular Exemplo 1: Determinar o domínio da função Resolução: * Função Modular Exemplo 2: Determinar o domínio da função Resolução: * Função Modular Gráfico Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|: Gráfico da função f(x)=|x|: *

O módulo ou valor absoluto de um número real é,
o próprio número sem considerar o sinal.

Assim, o que está em módulo é sempre não-negativo.

Exemplos:
| + 7 | = 7 | – 4 | = 4 | 3 | = 3

Sendo "a" um número real, | a | nem sempre é igual a "a".

Pois se "a" for, por exemplo, – 6, teria-se:

| – 6 | = – 6, que está errado.

Mas se "a" for, por exemplo, 4, teria-se:

| 4 | = 4, que está certo. Portanto:

| a | = a, se "a" for positivo ou nulo

| a | = – a, se "a" for negativo.

Uma função real onde a variável está em módulo,
é dita função modular.

f : IR → IR

y = | f(x) | ou f(x) = | g(x) |

Exemplos de função modular: f(x) = | 2 x + 4 |

g(x) = | x2 – 4 x + 3 |

O modulo de um número real é igual a raiz quadrada do número ao quadrado ( | x | = √x² )

Representação gráfica

O gráfico de uma função modular pode ser esboçado, pela separação em sentenças, por exemplo: dada a função f(x) = | 2 – x | Transformando-a em uma função de duas sentenças, onde o domínio real é dividido em duas condições, uma positiva ou nula e outra negativa. Considerando a função que está no módulo como sendo: g(x), então: g(x) = 2 – x onde a função é positiva ou nula. g(x) = – 2 + x onde a função é negativa. Obtendo a raiz de g(x) = 2 – x 2 – x = 0 2 = x Portanto, a raiz é x = 2 Estudando o sinal de g(x) = 2 – x

trata-se de uma função do 1º grau e o valor de a é – 1:

É positiva à esquerda, negativa à direita e nula na raiz. f(x) > 0 quando x < 2 e f(x) = 0 quando x = 2.

Daí: f(x) = 2 – x, se x ≤ 2

f(x) < 0 quando x > 2

Daí: f(x) = – 2 + x, se x > 2

f(x) =

Assim, tomando alguns valores, por exemplo, 1, 2 e 3: 1 e 2 são substituídos na primeira função, pois, são menores ou iguais a 2. f(x) = 2 – x f(1) = 2 – 1 f(1) = 1 f(2) = 2 – 2 f(2) = 0 3 é substituido na segunda função, pois, é maior que 2. f(x) = – 2 + x f(3) = – 2 + 3 f(3) = 1 Representando os valores numa tabela, e,

marcando os pontos no plano cartesiano:

Equação Modular

Uma equação em que a incógnita esteja em módulo,
é chamada de equação modular.

Resolução: ① Para resolver uma equação modular da forma:

| f(x) | = a, com "a" um número real negativo.

| 2 x – 3 | = – 5 Neste caso, não tem solução, pois, nada que está em módulo pode ser negativo.

S = Ø (conjunto-solução)

② Para resolver uma equação modular da forma: | f(x) | = 0 | 2 x – 3 | = 0 Neste caso, apenas a raiz é a solução. 2 x – 3 = 0 2 x = 3

x =

S = {

}

③ Para resolver uma equação modular da forma:
| f(x) | = a, com "a" um número real positivo. | 2 x – 3 | = 5 Neste caso, separa | 2 x – 3 | em dois casos: 2 x – 3 = 5 ou – 2 x + 3 = 5 Resolvendo 2 x – 3 = 5 tem-se: 2 x – 8 = 0 2 x = 8

x =

x = 4 Resolvendo – 2 x + 3 = 5 tem-se: – 2 x – 2 = 0 – 2 = 2 x

–

= x

E daí x = – 1

S = { – 1; 4 }

Inequação Modular

Uma inequação em que a incógnita esteja em módulo,
é chamada de inequação modular.

① Para resolver uma inequação modular da forma: | f(x) | < 0 | 2 x – 3 | < 0 Neste caso, não tem solução, pois, nada que está em módulo pode ser negativo. O conjunto-solução é:

S = Ø

② Para resolver uma inequação modular da forma: | f(x) | ≤ 0 | 2 x – 3 | ≤ 0 Neste caso, apenas a raiz é solução.

S = {

}

③ Para resolver uma inequação modular da forma: | f(x) | > 0 | 2 x – 3 | > 0 Neste caso, apenas a raiz não pertence a solução.

S = { x ∈ IR ; x ≠

} = IR − {

}

④ Para resolver uma inequação modular da forma: | f(x) | ≥ 0 | 2 x – 3 | ≥ 0 Neste caso, qualquer número real é válido.

S = IR

⑤ Para resolver uma inequação modular da forma:
| f(x) | < a ou | f(x) | ≤ a, com "a" um número real negativo. | 2 x – 3 | < – 5 ou | 2 x – 3 | ≤ – 5 Neste caso, não tem solução, pois, nada que está em módulo pode ser negativo. O conjunto-solução é:

S = Ø

⑥ Para resolver uma inequação modular da forma:
| f(x) | < a, com "a" um número real positivo. | 2 x – 3 | < 5 Neste caso, se separa | 2 x – 3 | em duas inequações: 2 x – 3 < 5 ou – 2 x + 3 < 5 Resolvendo 2 x – 3 < 5 tem-se: 2 x – 3 < 5 2 x – 3 – 5 < 0 2 x – 8 < 0 Encontrando a raiz: 2 x – 8 = 0 2 x = 8

x =

x = 4 Pelo estudo do sinal, 2 x – 8 < 0 quando x < 4

Resolvendo – 2 x + 3 < 5 tem-se: – 2 x + 3 < 5 – 2 x + 3 – 5 < 0 – 2 x – 2 < 0 Encontrando a raiz: – 2 x – 2 = 0 – 2 = 2 x

–

= x

x = – 1 Pelo estudo do sinal, – 2 x – 2 < 0 quando x > – 1

S = { x ∈ IR ; – 1 < x < 4 }

Outra maneira | 2 x – 3 | < 5 A parte da separação – 2 x + 3 < 5, pode ser vista como:

2 x – 3 > – 5 (multiplicando – 2 x + 3 < 5 por – 1)

Assim poderia ser resolvido de forma única: – 5 < 2 x – 3 < 5 Efetuando-se operações para deixar apenas "x". Somando 3 a toda a inequação:

– 5 + 3 < 2 x – 3 + 3 < 5 + 3

– 2 < 2 x < 8 Dividindo por 2 toda a inequação:

– 1 < x < 4

⑦ Para resolver uma inequação modular da forma:
| f(x) | ≤ a, com "a" um número real positivo. | 2 x – 3 | ≤ 5 Este caso, é o mesmo anterior acrescentado o igual.

S = { x ∈ IR ; – 1 ≤ x ≤ 4 }

⑧ Para resolver uma inequação modular da forma:
| f(x) | > a, com "a" um número real positivo. | 2 x – 3 | > 5 Neste caso, separa | 2 x – 3 | em dois casos: 2 x – 3 > 5 ou – 2 x + 3 > 5 Resolvendo 2 x – 3 > 5 tem-se: 2 x – 3 – 5 > 0 2 x – 8 > 0 Encontrando a raiz: 2 x – 8 = 0 2 x = 8

x =

x = 4 Pelo estudo do sinal, 2 x – 8 > 0 quando x > 4

Resolvendo – 2 x + 3 > 5 tem-se: – 2 x + 3 – 5 > 0 – 2 x – 2 > 0 Encontrando a raiz: – 2 x – 2 = 0 – 2 = 2 x

–

= x

x = – 1 Pelo estudo do sinal, – 2 x – 2 > 0 quando x < – 1

S = { x ∈ IR ; x < – 1 ou x > 4 }

⑨ Para resolver uma inequação modular da forma:
| f(x) | ≥ a, com "a" um número real positivo. | 2 x – 3 | ≥ 5 Este caso, é o mesmo anterior acrescentado o igual.

S = { x ∈ IR ; x ≤ – 1 ou x ≥ 4 }

Exercícios Resolvidos

R01 — Faça um esboço gráfico de f(x) = | x – 1 |

Considerando a função que está no módulo como sendo g(x). Então: g(x) = x – 1 onde a função é positiva ou nula. g(x) = – x + 1 onde a função é negativa. Obtendo a raiz de g(x) = x – 1 x – 1 = 0 x = 1 Portanto, a raiz é x = 1 Estudando o sinal de g(x) = x – 1

Trata-se de uma função do 1º grau e o valor de a é positivo.

É positiva à direita, negativa à esquerda e nula na raiz. A função permanece como está no módulo onde, ela é positiva ou nula, isto é: f(x) = x – 1 quando x ≥ 1 A função inverte todos os sinais (no módulo) onde, ela é negativa, isto é: f(x) = – x + 1 quando x < 1

f(x) =

Assim, tomando alguns valores, por exemplo: a raiz, um valor menor e outro maior, isto é: 0, 1 e 2 0 é substituído na segunda função, pois, é menor do que 1. f(x) = – x + 1 f(0) = – 0 + 1 f(0) = 1 1 e 2 são substituidos na primeira função, pois, são maiores ou iguais 1. f(x) = x – 1 f(1) = 1 – 1 f(1) = 0 f(2) = 2 – 1 f(2) = 1 Representando os valores numa tabela, e,

marcando os pontos no plano cartesiano:

R02 — Faça um esboço gráfico de f(x) = | x – 1 | + 1.

Quando x – 1 ≥ 0 (positivo ou nulo) então: f(x) = x – 1 + 1 f(x) = x Então: f(x) = x quando x ≥ 1 Quando x – 1 < 0 (negativo) então: f(x) = – x + 1 + 1 f(x) = – x + 2 Então: f(x) = – x + 2 quando x < 1 Assim:

f(x) =

Assim, tomando alguns valores, por exemplo: a raiz, um valor menor e outro maior, isto é: 0, 1 e 2. 0 é substituído na segunda função, pois, é menor do que 1. f(x) = – x + 2 f(0) = – 0 + 2 f(0) = 2 1 e 2 são substituidos na primeira função, pois, são maiores ou igual 1. f(x) = x f(1) = 1

f(2) = 2

R03 — Faça um esboço gráfico de f(x) = | x – 1 | – 1.

Quando x – 1 ≥ 0 (positivo ou nulo) então: f(x) = x – 1 – 1 f(x) = x – 2 Então: f(x) = x – 2 quando x ≥ 1 Quando x – 1 < 0 (negativo) então: f(x) = – x + 1 – 1 f(x) = – x Então: f(x) = – x quando x < 1 Assim:

f(x) =

Assim, tomando alguns valores, por exemplo: a raiz, um valor menor e outro maior, isto é: 0, 1 e 2. 0 é substituído na segunda função, pois, é menor do que 1. f(x) = – x f(0) = – 0 f(0) = 0 1 e 2 são substituidos na primeira função, pois, são maiores ou iguais a 1. f(x) = x – 2 f(1) = 1 – 2 f(1) = – 1 f(x) = x – 2 f(2) = 2 – 2

f(2) = 0

R04 — Esboçe o gráfico de f(x) = | | x – 1 | – 1 |.

Há neste caso um módulo dentro de outro módulo. A função é dividida em duas: f(x) = | x – 1 – 1 | quando x – 1 ≥ 0, ou: f(x) = | – x + 1 – 1 | quando x – 1 < 0 Resolvendo f(x) = | x – 1 – 1 | quando x – 1 ≥ 0 Quando x – 1 ≥ 0, isto é, x ≥ 1 f(x) = | x – 1 – 1 | f(x) = | x – 2 | Então: f(x) = | x – 2 | quando x ≥ 1 Como se trata de uma função modular, se divide em duas: f(x) = x – 2 quando x – 2 ≥ 0, ou: f(x) = – x + 2 quando x – 2 < 0, ou: 1º Caso (onde x ≥ 1): x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 a intersecção entre x ≥ 1 e x ≥ 2 é x ≥ 2, logo:

① f(x) = x – 2 quando x ≥ 2

2º Caso (onde x ≥ 1): x − 2 < 0 x < 2 a intersecção entre x ≥ 1 e x < 2 é 1 ≤ x < 2, logo:

② f(x) = – x + 2 quando 1 ≤ x < 2

Resolvendo f(x) = | – x + 1 – 1 | quando x < 1 Quando x – 1 < 0 então: f(x) = | – x + 1 – 1 | f(x) = | – x | f(x) = | x | Então: f(x) = | x | quando x < 1 Como se trata de uma função modular, se divide em duas: f(x) = – x quando x ≤ 0, ou: f(x) = x quando x > 0, ou: 3º Caso (onde x < 1): x ≤ 0 a intersecção entre x < 1 e x ≤ 0 é x ≤ 0, logo:

③ f(x) = – x quando x ≤ 0

4º Caso (onde x < 1): x > 0 a intersecção entre x < 1 e x > 0 é 0 < x < 1, logo:

④ f(x) = x quando 0 < x < 1

f(x) =

Assim, tomando alguns valores, por exemplo: – 1, 0, 1, 2 e 3. – 1 e 0 são substituído na primeira função, pois, são menores ou iguais a 0. f(x) = – x f(– 1) = – (– 1) f(– 1) = 1 f(0) = – 0 f(0) = 0 1 é substituído na terceira função, pois, é maior ou igual a 1 e menor que 2. f(1) = – 1 + 2 f(1) = 1 2 e 3 são substituídos na quarta função, pois, são maiores ou iguais a 2. f(2) = 2 – 2 f(2) = 0 f(3) = 3 – 2

f(3) = 1

x	f(x)
– 1	1
0	0
1	1
2	0
3	1

R05 — Resolva a equação | | 2 x – 1 | – 3 | = 2.

Há duas opções para esta equação: | 2 x – 1 | – 3 = 2 ou | 2 x – 1 | – 3 = – 2 Resolvendo a primeira: | 2 x – 1 | – 3 = 2 | 2 x – 1 | = 2 + 3 | 2 x – 1 | = 5 Há duas opções:

① 2 x – 1 = 5

2 x – 1 = 5 2 x = 5 + 1 2 x = 6

x =

x = 3

② – 2 x + 1 = 5

2 x – 1 = – 5 2 x = – 5 + 1 2 x = – 4

x = –

x = – 2 Resolvendo a segunda: | 2 x – 1 | – 3 = – 2 | 2 x – 1 | = – 2 + 3 | 2 x – 1 | = 1 Há duas opções:

① 2 x – 1 = 1

2 x – 1 = 1 2 x = 1 + 1 2 x = 2

x =

x = 1

② 2 x – 1 = – 1

2 x – 1 = – 1 2 x = – 1 + 1 2 x = 0 x = 0 Portanto, a solução é:

S = { – 2, 0, 1, 3 }

R06 — Encontre a solução da inequação 6 > | x2 + 5 x |.

Há duas opções para esta inequação:

x2 + 5 x < 6 ou x2 + 5 x > – 6

Isto é o mesmo que resolver as inequações:

x2 + 5 x – 6 < 0 ou x2 + 5 x + 6 > 0

Resolvendo x2 + 5 x – 6 < 0 tem-se:

Encontrando as raízes de x2 + 5 x – 6 = 0

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = 52 – 4 ⋅ 1 ⋅ (– 6) Δ = 25 + 24 Δ = 49

x =

x′ =

x′ = 1

x′′ =

x′′ = –

x′′ = – 6 Como se deseja que:

x2 + 5 x – 6 < 0 (seja negativo), então:

Como o valor de a é positivo, então dá negativo entre as raízes.

Assim: – 6 < x < 1

Resolvendo x2 + 5 x + 6 > 0 tem-se:

Encontrando as raízes de x2 + 5 x + 6 = 0

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = 52 – 4 ⋅ 1 ⋅ 6 Δ = 25 – 24 Δ = 1

x =

x′ =

x′ = –

x′ = – 2

x′′ =

x′′ = –

x′′ = – 3 Como se deseja que:

x2 + 5 x – 6 > 0 (seja positivo), então:

Como a é positivo, então é positivo fora das raízes.

Assim: x < – 3 ou x > – 2 Representando as respostas de cada, e obtendo a intersecção:

Portanto, a solução da inequação | x2 + 5 x | < 6 é:

S = { x ∈ IR ; – 6 < x < – 3 ou – 2 < x < 1 }

R07 — Encontre k de modo que a função:
( | 2 k – 3 | ) x2 + 5 x – 3 seja do 2° grau.

Para ser uma equação do 2° grau é necessário que:
o valor de "a" não seja nulo. Então: | 2 k – 3 | ≠ 0 Assim, com exceção da raiz qualquer número real serve. Encontrando a raiz. 2 k – 3 = 0 2 k = 3

k =

Então a solução é:

S = { k ∈ IR ; k ≠

} = IR − {

}

R08 — Esboce um gráfico para a função modular dada por:
f(x) = | x + 2 | – | x + 1 |

Chamando g(x) = x + 2 e h(x) = x + 2 Quando x + 2 ≥ 0 então x ≥ – 2

g(x) = x + 2 quando x ≥ – 2

Quando x + 2 < 0 então x < – 2

g(x) = – x – 2 quando x < – 2

Quando x + 1 ≥ 0 então x ≥ – 1

h(x) = x + 1 quando x ≥ – 1

Quando x + 1 < 0 então x < – 1

h(x) = – x – 1 quando x < 1

Há quatro casos: ① Quando ambos são positivos, isto é: x ≥ – 2 e x ≥ – 1

A intersecção é x ≥ – 1 f(x) = x + 2 – (x + 1) Daí: f(x) = x + 2 – x – 1 f(x) = x – x + 2 – 1 f(x) = 1

f(x) = 1 se x ≥ – 1

② Quando o 1º é positivo e o 2º é negativo, isto é: x ≥ – 2 e x < – 1

A intersecção é – 2 ≤ x < – 1 f(x) = x + 2 – (– x – 1) Daí: f(x) = x + 2 + x + 1 f(x) = x + x + 2 + 1 f(x) = 2 x + 3

f(x) = 2 x + 3 se – 2 ≤ x < – 1)

③ Quando o 1º é negativo e o 2º é positivo, isto é: x < – 2 e x ≥ – 1

Não há intersecção.

f(x) = – x – 2 – (x + 1) (não precisa fazer)

④ Quando ambos são negativos, isto é: x < – 2 e x < – 1

A intersecção é < – 2 f(x) = – x – 2 – (– x – 1) Daí: f(x) = – x – 2 + x + 1 f(x) = – x + x – 2 + 1 f(x) = – 1

f(x) = – 1 se x < – 2

Assim, a lei de formação de f(x) é dada por:

f(x) =

E o gráfico é:

R09 — Dada a função f(x) = | k – 1 | x2 – x – 3.
Determine k para que a função tenha raízes reais e distintas.

Para que se tenha raízes distintas Δ > 0, então:
Δ = (– 1)2 – 4 ⋅ | k – 1 | ⋅ (– 3) Δ = 1 + 12 ⋅ | k – 1 | Assim: 1 + 12 ⋅ | k – 1 | > 0 12 ⋅ | k – 1 | > – 1

| k – 1 | > –

Como o módulo sempre é positivo, então,

para qualquer valor de k se tem duas raízes distintas.

R10 — As raízes da equação | x |2 + | x | – 6 = 0: a) são positivas b) tem soma igual a zero c) tem soma igual a um d) tem produto igual a seis

e) tem produto igual a menos seis

Substituindo | x | por "y" tem-se:
y2 + y – 6 = 0

Δ = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6)

Δ = 1 + 24 Δ = 25

x =

x′ =

x′ = 2

x′′ =

x′′ = –

x′′ = – 3 Então: | x | = – 3 ou | x | = 2 A primeira não tem solução real. A segunda tem duas soluções: x = – 2 e x = 2

Alternativa "b".

R11 — Resolva a equação:
√(x – 1)² = 4

Elevando ambos os membros ao quadrado:
( √(x – 1)² )2 = ( 4 )2
(x – 1)2 = 16
x – 1 = ± √16 x – 1 = ± 4 x = 1 ± 4 x′ = 1 + 4 x′ = 5 x′′ = 1 – 4 x′′ = – 3

S = { – 3, 5 }

Outra maneira de se resolver A raiz quadrada do radicando ao quadrado, é igual ao módulo do radicando:

√(x – 1)² = | x – 1 |

E como a equação é dada por: √(x – 1)² = 4

Ela passa a ser: | x – 1 | = 4 Onde há duas opções: x – 1 = 4 ou x – 1 = – 4 Da primeira equação: x = 4 + 1 x = 5 Da segunda equação: x = – 4 + 1

x = – 3

R12 — Resolva a equação | 3 – 2 x | = x + 3

Tem-se um módulo igual a uma expressão (x + 3), então: se x + 3 for negativo, isto é, se x < – 3, não há solução. se x + 3 for nulo, isto é, se x = – 3, então: a solução poderia ser a raiz do que está no módulo, se esta raiz fosse o – 3, mas não é. Neste caso, é necessário que x + 3 > 0. Assim, há uma condição que é x > – 3 Resolvendo a equação: | 3 – 2 x | = x + 3 com x > – 3 Há duas opções: 3 – 2 x = x + 3 ou – 3 + 2 x = x + 3 Na primeira equação: 3 – 2 x = x + 3 3 – 3 = x + 2 x 0 = 3 x x = 0 Na segunda equação: – 3 + 2 x = x + 3 2 x – x = 3 + 3 x = 6 Como ambos são maiores do que – 3, então:

S = { 0, 6 }

Exercícios Propostos

P01 — Faça um esboço gráfico de:
f(x) = | 1 – 2 x |

P02 — Resolva a equação:
| 3 – 5 x | = 1

P03 — Represente graficamente a função:
y = | – x2 + 2 x + 3 |

P04 — Resolva a equação:
| 2 – 4 x | = 3 x – 5

P05 — Resolva a inequação:
| 3 x + 9 | ≤ 6

P06 — Esboce um gráfico para a função modular:
f(x) = | 2 x – 6 | + | x – 3 |

P07 — Resolva a equação:
3 | x |2 – | x | – 2 = 0

P08 — Determine o valor de k para que o gráfico da função:
f(x) = ( | k2 – 4 | )x2 + x – 2,
tenha a concavidade voltada para cima.

P09 — A soma das raízes da equação | x2 – 3 x | = 2 é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

P10 — Encontre k para que a função:
f(x) = ( | 2 k – 1 | – 4 ) x + 7 seja crescente.

P11 — Determine k para que a função:
y = ( | k | – 3 ) x2 – 5 x + 6,
tenha a concavidade voltada para baixo.

P12 — Encontre a solução de:
| 4 – 3 x | > 2 x – 1

P13 — Obtenha o conjunto-solução de:

≤ 0

P14 — Resolva a inequação:
| x + 1 | – | 2 – | x | < 0

P15 — Encontre a solução de:
| x – 4 | = | 2 x – 3 |

P16 — Esboce um gráfico para a função modular dada por:
f(x) = | x + 2 | + | x + 1 |

P17 — Considere a equação | x | = x – 6. Com respeito à solução real dessa equação, podemos afirmar que: a) a solução pertence ao intervalo [ 1, 2 ] b) a solução pertence ao intervalo [ – 2, – 1 ] c) a solução pertence ao intervalo ] – 1, 1 [

d) a equação não tem solução

P18 — O maior valor que y pode assumir em: y = 3 – | x – 3 | é:

a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 27

P19 — Encontre k para que a função:
f(x) = ( | 3 k – 3| – 5 ) x + 7 seja do 1° grau.

P20 — Determine k para que a função:
y = ( | 2 k + 6 | – 6 ) x2 – 5 x + 1,
tenha a concavidade voltada para cima.