Como fazer método de comparação

Tags: Comparação Método da Comparação Duas Incógnitas Grau Equações

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Resolver um sistema de equações com duas variáveis consiste em utilizar técnicas matemáticas na determinação das incógnitas x e y. Os métodos utilizados pelos matemáticos na resolução consistem em: resolução gráfica, substituição, adição e comparação. Vamos fixar nosso estudo no método da comparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparação entre elas. Observe a resolução dos modelos a seguir:

Exemplo 1

Isolando x na 1ª equaçãox + y = 7x = 7 – y

Isolando x na 2ª equaçãox – 2y = – 5

x = – 5 + 2y

Realizando a comparação

x = x7 – y = – 5 + 2y– y – 2y = –5 –7– 3y = – 12 *(–1)3y = 12y = 12/3y = 4Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4.x = – 5 +2yx = – 5 + 2 * 4x = – 5 + 8x = 3

Solução do sistema: (3; 4)

Exemplo 2

Isolando x na 1ª equaçãox + 2y = 40x = 40 – 2y

Isolando y na 2ª equaçãox – 3y = – 35

x = – 35 + 3y

Realizando a comparação

x = x–35 + 3y = 40 – 2y3y + 2y = 40 + 355y = 75y = 15Calculamos o valor de x substituindo y = 15 em qualquer das equações.x = – 35 + 3yx = – 35 + 3 * 15x = –35 + 45x = 10

Solução do sistema: (10; 15)

Exemplo 3

Isolar y na 1ª equação2x + y = 4

y = 4 – 2x

Isolar y na 2ª equação3x + y = – 3

y = – 3 – 3x

Realizando a comparação

y = y4 – 2x = – 3 – 3x–2x + 3x = –3 – 4x = –7Calculando y através de x = – 7y = – 3 – 3xy = –3 – 3 * (–7)y = –3 + 21y = 18

Solução do sistema: (–7; 18)

Marcos Noé Pedro da Silva

O método da comparação assemelha-se ao da substituição porque é necessário isolar uma das incógnitas, porém, ao contrário do outro método, na comparação isolamos a mesma incógnita nas duas equações. Em seguida, devemos igualar as equações, comparando as igualdades. Entenda os quatro métodos de resolução dos sistemas de equações do 1º grau. Esses sistemas de equações podem ser resolvidos de quatro formas diferentes: método de substituição, método de adição, método de comparação e método gráfico. A solução ou raiz de uma equação é o conjunto de todos os valores que, quando atribuídos à incógnita, tornam a igualdade verdadeira. Considere a equação com uma incógnita 5x – 9 = 16, verifique que x = 5 é solução ou raiz da equação. Para esse método, basta isolar uma das variáveis e depois substituir o valor do x na segunda equação. Nesse método, deve-se somar ou subtrair as duas equações de forma que corte uma das letras. X então é igual a 2. Depois é só substituir o valor de X nas equações e encontrar o valor de Y. Um sistema de equações pode ser formado por várias incógnitas, mas somente será resolvido se o número de termos desconhecidos for igual ao número de equações do sistema. Os sistemas com três variáveis podem ser resolvidos através dos processos já conhecidos e estudados, substituição ou adição. Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra, depois basta igualar as duas, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita. Exemplo: 1º passo: vamos isolar o y na primeira e na segunda equação equação para podermos igualar as equações. Para isso, usaremos como exemplo o seguinte sistema:

1. Primeiro passo: organizar os termos do sistema. ...
2. Segundo passo: multiplicar uma das equações por uma constante apropriada. ...
3. Terceiro passo: somar as equações. ...
4. Quarto passo: encontrar o valor numérico da segunda incógnita.

A solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema linear. Os métodos mais utilizados na resolução de sistemas de equações de duas incógnitas são o método da adição e o método da substituição. Resposta: No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas. Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários. Para ter somente uma equação com as duas incógnitas. Raízes de uma equação do 2º grau Para resolvermos uma equação do 2º grau é necessário que encontremos as raízes da equação. As raízes são valores que quando substituímos nas incógnitas, tornam a sentença verdadeira. Assim, as raízes da equação formam o conjunto solução ou o conjunto verdade da equação. Sistemas lineares de equações: método da substituição

1. Nesse exemplo, temos que x = 20 e y = 10 para ambas as equações.
2. Passo 2: Substituir o valor algébrico da incógnita na outra equação.
3. Passo 3: Calcular o valor numérico de uma das incógnitas.

O que significa resolver um sistema de equações lineares?

Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de resolvermos um sistema de equações lineares ou sistemas lineares, como quiser chama-los.

O que é comparação em matemática?

Comparar significa analisar qual representa a maior ou menor quantidade ou se elas são iguais. Quando os denominadores são iguais, basta compararmos somente o valor dos numeradores. ... Note que os denominadores são iguais, dessa forma, vamos comparar os numeradores: 4 > 2 (quatro é maior que dois), então .

Como resolver um sistema de equações lineares?

1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que: 2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x. 3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações.

Resolver sistemas lineares é uma tarefa bastante recorrente para estudos nas áreas das ciências da natureza e da matemática. A busca por valores desconhecidos fez com que fossem desenvolvidos métodos de resolução de sistemas lineares, como o método da adição, igualdade e substituição para sistemas que possuem duas equações e duas incógnitas, e a regra de Crammer e o escalonamento, que resolvem sistemas lineares de duas equações, mas que são mais convenientes para sistemas  com mais equações. Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações com uma ou mais incógnitas.

Leia também: Qual a relação entre matrizes e sistemas lineares?

Sistemas lineares.

Tópicos deste artigo

Equação linear

O trabalho com equações existe devido à necessidade de encontrarmos valores desconhecidos de incógnitas. Chamamos de equação quando temos uma expressão algébrica com igualdade, e ela é classificada como linear quando o maior expoente de suas incógnitas é 1, conforme os exemplos a seguir:

2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas

a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita

De modo geral, uma equação linear pode ser descrita por:

a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c

Conhecemos como sistema de equação quando há mais de uma equação linear. Começaremos com sistemas lineares de duas incógnitas.

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Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem vários métodos, os três mais conhecidos são:

• método da comparação
• método da adição
• método da substituição

Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Esses métodos não são tão eficientes para sistemas com mais equações, já que existem outros métodos específicos para resolvê-los.

O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e realizar a substituição na outra equação.

Exemplo:

1º passo: isolar uma das incógnitas.

Chamamos de I a primeira equação e de II a segunda equação. Analisando as duas, vamos escolher a incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. Note que, na equação I → x + 2y = 5, o x não possui coeficiente, o que faz com que seja mais fácil isolá-lo, logo, reescreveremos a equação I desta forma:

I → x + 2y = 5

I → x = 5 – 2y

2º passo: substituir I em II.

Agora que temos a equação I com o x isolado, na equação II, podemos substituir x por 5 – 2y.

II → 3x – 5y = 4

Substituindo x por 5 – 2y:

3 (5 – 2y) – 5y = 4

Agora que a equação tem só uma incógnita, é possível resolvê-la para encontrar o valor de y.

Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x realizando a substituição do valor de y na equação I.

I → x = 5 – 2y

x = 5 – 2 · 1

x = 5 – 2

x = 3

Então a solução do sistema é S = {3,1}.

O método da comparação consiste em isolarmos uma incógnita nas duas equações e igualar esses valores.

Exemplo:

1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que:

2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x.

3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações.

x = -4 – 3y

x = -4 – 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Então a solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}.

Veja também: Quais as diferenças entre função e equação?

O método da adição consiste em realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero.      

Exemplo:

1º passo: multiplicar uma das equações para que os coeficientes fiquem opostos.

Note que, se multiplicarmos a equação II por 2, teremos 4y na equação II e -4y na equação I, e que, ao somarmos I + II, teremos 0y, logo, vamos multiplicar todos os termos da equação II por 2 para que isso aconteça.

I → 5x – 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2º passo: realizar a soma I + 2 · II.

3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das equações.

Quando o sistema possui três incógnitas, adotamos outros métodos de resolução. Todos esses métodos relacionam os coeficientes com matrizes, e os métodos mais utilizados são a regra de Crammer ou o escalonamento. Para a resolução em ambos os métodos, é necessário a representação matricial do sistema, inclusive o sistema 2x2 pode ser representado por meio de uma matriz. Há duas possíveis representações, a matriz completa e a matriz incompleta:

Exemplo:

O sistema 

Pode ser representado pela matriz completa

E pela matriz incompleta

Para encontrarmos soluções de um sistema 3x3, com incógnitas x, y e z, utilizando a regra de Crammer, é necessário calcularmos o determinante da matriz incompleta e suas variações. Temos então que:

D → determinante da matriz incompleta do sistema.

Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de x pela coluna dos termos independentes.

Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de y pela coluna dos termos independentes.

Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de z pela coluna dos termos independentes.

Dessa forma, para encontrar o valor de suas incógnitas, primeiro precisamos calcular o determinante D, Dx, Dy associado ao sistema.

Exemplo:

1º passo: calcular D.

2º passo: calcular Dx.

3º passo: então podemos encontrar o valor do x, pois:

4º passo: calcular Dy.

5º passo: então podemos calcular o valor de y:

6º passo: agora que conhecemos o valor de x e y, em qualquer uma das linhas podemos encontrar o valor de z substituindo o valor de x e y e isolando o z. Outra opção é calcular Dz.

Substituindo x = 0 e y = 2 na primeira equação:

2x + y – z = 3

2 · 0 + 2 – z = 3

0 + 2 – z = 3

-z = 3 – 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Portanto, a solução do sistema é a terna (0,2,-1).

Acesse também: Resolução de problemas por sistemas de equação  

Outro método de resolver sistemas lineares é o escalonamento, nele utilizamos somente a matriz completa e operações entre as linhas com o objetivo de isolar as suas incógnitas. Vamos escalonar o sistema a seguir.

1º passo: escrever a matriz completa que represente o sistema.

Seja L1, L2 e L3 respectivamente as linhas 1, 2 e 3 da matriz, vamos realizar operações entre L1 e L2 e  L1 e L3, de modo que o resultado faça com que os termos que estão na primeira coluna da segunda e da terceira linhas fiquem iguais a zero.

Analisando a segunda linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L2 → -2 · L1 + L2, com objetivo de zerar o termo a21.

a21 = -2 · 1 + 2 = 0

a22 =  -2 · 2 + 1 = -3  

a23 = -2 · (-3) + 1 = 7

a24 =  -2 · 10 + 3 = -17

Então a L2 será 0  -3  7  -17.

Analisando a terceira linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L3 → 3L1 + L2, com o objetivo de zerar o termo a31.

a31 = 3 · 1 – 3 = 0

a32 = 3 · 2 + 2 = 8

a33 = 3 · (-3) +1 = -8

a34 = 3 · 10 – 6 = 24

Então a L3 será  0  8  -8  24. 

Note que todos são divisíveis por 8, logo, para que a linha L3 fique mais simplificada, vamos dividi-la por 8.

L3 → L3 : 8 será: 0  1  -1  3.

Assim a nova matriz da equação escalonada será:

Agora o objetivo é zerar a coluna y na terceira linha, realizaremos operações entre a L2 e L3, com o objetivo de zerar a segunda coluna de uma delas.

Substituiremos a L3 por L3 → L2 + 3L3.

a31 = 0 + 3 · 0 = 0

a32 = -3 + 3 · 1 = 0

a33 = 7 + 3 · (-1) = 4

a34 = -17 + 3 · 3 = -8

Então L3 será: 0  0  4  -8.

A nova matriz escalonada será:

Agora, ao representarmos essa matriz como um sistema novamente, adicionando x, y e z nas colunas, encontraremos o seguinte:

Podemos então encontrar o valor de cada uma das incógnitas. Analisando a equação III, temos que:

Se z = -2, vamos substituir o valor de z na segunda equação:

Por fim, na primeira equação, vamos substituir o valor de y e z para encontrarmos o valor de x.

Veja também: Sistema de inequações de 1º grau – como resolver?

Classificação de sistema linear

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares, podendo ter várias incógnitas e várias equações. Existem vários métodos para resolvê-lo, independentemente da quantidade de equações. Existem três classificações para um sistema linear.

• Sistema possível determinado (SPD): quando possui uma única solução.
• Sistema possível indeterminado (SPI): quando possui infinitas soluções.
• Sistema impossível (SI): quando não existe nenhuma solução.

Exercícios resolvidos

Questão 1 (IFG 2019) Considere a soma das medidas de uma base e da altura relativa a essa base de um triângulo igual a 168 cm e a diferença igual a 24 cm. É correto afirmar que as medidas da base e da altura relativa a essa base medem, respectivamente:

a) 72 cm e 96 cm

b) 144 cm e 24 cm

c) 96 cm e 72 cm

d) 24 cm e 144 cm

Resolução

Alternativa C.

Seja h → altura e b → base, então temos o seguinte sistema:

Pelo método da adição, temos que:

Para encontrar o valor de h, vamos substituir b = 96 cm na primeira equação:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 – 96

h = 72 cm

Questão 2 A matriz incompleta que representa o sistema linear a seguir é:

Resolução

Alternativa C.

A matriz incompleta é aquela que possui os coeficientes de x, y e z, logo, ela será uma matriz 3x3. Analisando-se as alternativas, a que contém a matriz 3x3 com os sinais corretos é a de letra C.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática