Como calcular seno, cosseno e tangente de um arco

No estudo da trigonometria abordamos as relações existentes entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Esse ramo da matemática também estuda as funções trigonométricas e seus comportamentos. Bastante utilizada em nosso dia a dia, a trigonometria sempre fascinou matemáticos de todas as épocas que deixaram um legado de conhecimento sobre as propriedades dos triângulos retângulos. Dadas as funções circulares de um arco x, é possível, mediante aplicação das fórmulas deduzidas, encontrarmos as funções circulares dos arcos 2x, 3x, ..., chamados, respectivamente, de arco duplo, arco triplo... Vejamos as expressões que determinam o seno, o cosseno e a tangente do arco duplo. Para isso, faremos 2x = x + x. 1. Seno do arco duplo. Temos que: sen2x = sen (x + x) Utilizando a fórmula do seno da soma de dois arcos, obtemos: sen 2x = sen (x + x) = senx?cosx + senx?cosx Então:

sen 2x = 2senx?cosx

cos2x = cos2 x - sen2 x

Temos que:

Essas fórmulas são úteis para a simplificação de expressões envolvendo relações trigonométricas. Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo. Sabendo que sen x = 12/13  e cos x = 5/13, determine o valor de sen 2x e cos 2x.

Solução: Primeiro vamos determinar o valor de sen 2x. Como conhecemos os valores de sen x e cos x, basta aplicar a fórmula do arco duplo. Assim, temos que:

Agora, vamos determinar o valor de cos 2x.

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O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas.

Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas

De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Cada ponto dele está associado aos valores dos ângulos.

No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo qualquer da circunferência.

Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As razões trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente:

Radianos do Círculo Trigonométrico

A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad).

• 1° corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.
• 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio da circunferência do arco que será medido.

Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos:

• π rad = 180°
• 2π rad = 360°
• π/2 rad = 90°
• π/3 rad = 60°
• π/4 rad = 45°

Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra de três.

Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?

π rad -180° x – 30° x = 30° . π rad/180°

x = π/6 rad

Quadrantes do Círculo Trigonométrico

Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os quatro quadrantes que o constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo:

• 1.° Quadrante: 0º
• 2.° Quadrante: 90º
• 3.° Quadrante: 180º
• 4.° Quadrante: 270º

Círculo Trigonométrico e seus Sinais

De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e tangente variam.

Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo.

Para compreender melhor, veja a figura abaixo:

Como Fazer o Círculo Trigonométrico?

Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de coordenadas cartesianas com centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os quatro quadrantes.

Razões Trigonométricas

As razões trigonométricas estão associadas às medidas dos ângulos de um triângulo retângulo.

Representação do triângulo retângulo com seus catetos e a hipotenusa

Elas são definidas pelas razões de dois lados de um triângulo retângulo e do ângulo que forma, sendo classificadas em seis maneiras:

Seno (sen)

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Cosseno (cos)

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Tangente (tan)

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.

Cotangente (cot)

Lê-se cosseno sobre seno.

Cossecante (csc)

Lê-se um sobre seno.

Secante (sec)

Lê-se um sobre cosseno

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Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (Vunesp-SP) Em um jogo eletrônico o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.

A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro “do monstro”, em cm, é:

a) π – 1 b) π + 1 c) 2 π – 1 d) 2 π

e) 2 π + 1

2. (PUC-MG) Os moradores de certa cidade costumam fazer caminhada em torno de duas de suas praças. A pista que contorna uma dessas praças é um quadrado de lado L e tem 640 m de extensão; a pista que contorna a outra praça é um círculo de raio R e tem 628 m de extensão. Nessas condições, o valor da razão R/L é aproximadamente igual a:

Use π = 3,14.

a) ½ b) 5/8 c) 5/4

d) 3/2

3. (U.F.Pelotas-RS) Nossa época, marcada pela luz elétrica, por estabelecimentos comerciais abertos 24 horas e prazos apertados de trabalho, que muitas vezes exigem o sacrifício dos períodos de sono, pode muito bem ser considerada a era do bocejo. Estamos dormindo menos. A ciência mostra que isso contribui para a ocorrência de males como diabetes, depressão e obesidade. Por exemplo, quem não segue a recomendação de dormir no mínimo de 8 horas por noite, tem 73% mais risco de se tornar obeso. (Revista Saúde, n.º 274, junho de 2006 - adaptado)

Uma pessoa que durma à zero hora e siga a recomendação do texto apresentado, quanto ao número mínimo de horas diárias de sono, acordará às 8 horas da manhã. O ponteiro das horas, que mede 6 cm de comprimento, do despertador dessa pessoa, terá descrito, durante seu período de sono, um arco de circunferência com comprimento igual a:

Use π = 3,14.

a) 6π cm b) 32π cm c) 36π cm d) 8π cm

e) 18π cm

4. (UFRS) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulos entre os ponteiros é:

a) 45° b) 50° c) 55° d) 60°

e) 65°

5. (UF-GO) Por volta de 250 a.C., o matemático grego Erastóstenes, reconhecendo que a Terra era esférica, calculou sua circunferência. Considerando que as cidades egípcias de Alexandria e Syena localizavam-se em um mesmo meridiano, Erastóstenes mostrou que a circunferência da Terra media 50 vezes o arco de circunferência do meridiano ligando essas duas cidades. Sabendo que esse arco entre as cidades media 5000 estádios (unidade de medida utilizada na época), Erastóstenes obteve o comprimento da circunferência da Terra em estádios, o que corresponde a 39 375 km no sistema métrico atual.

De acordo com estas informações, a medida em metros, de um estádio era:

a) 15,75 b) 50,00 c) 157,50 d) 393,75

e) 500,00